Упр.16.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Изобразите на координатной плоскости $$xy$$ множество $$C=A?B$$, где:

1. $$A=\{(x;y)\mid y?-x^2+1\}$$, $$B=\{(x;y)\mid y?-4\}$$;
2. $$A=\{(x;y)\mid y?x^2-4x+3\}$$, $$B=\{(x;y)\mid y?-x^2+4x-5\}$$;
3. $$A=\{(x;y)\mid x^2+y^2?4\}$$, $$B=\{(x;y)\mid y?x^2\}$$.

1. $$A=\{(x;y)\mid y\le -x^2+1\},\quad B=\{(x;y)\mid y\ge -4\}.$$

   Пересечение множеств задаётся системой неравенств:

   $$\begin{cases} y\le -x^2+1,\\ y\ge -4. \end{cases}$$

   Значит, множество $$C=A\cap B$$ — это часть плоскости, лежащая ниже параболы $$y=-x^2+1$$ и выше прямой $$y=-4$$, включая границы.

2. $$A=\{(x;y)\mid y\ge x^2-4x+3\},\quad B=\{(x;y)\mid y\le -x^2+4x-5\}.$$

   Найдём точки пересечения границ:

   $$x^2-4x+3=-x^2+4x-5,$$

   $$2x^2-8x+8=0,$$

   $$x^2-4x+4=0,$$

   $$\left(x-2\right)^2=0,\quad x=2.$$

   Тогда

   $$y=2^2-4\cdot 2+3=-1.$$

   Следовательно, графики касаются в точке $$\left(2;-1\right)$$, а множество $$C=A\cap B$$ состоит только из этой точки.

3. $$A=\{(x;y)\mid x^2+y^2\ge 4\},\quad B=\{(x;y)\mid y\le x^2\}.$$

   Тогда

   $$C=A\cap B=\{(x;y)\mid x^2+y^2\ge 4,\; y\le x^2\}.$$

   Это часть плоскости вне круга $$x^2+y^2=4$$ и одновременно не выше параболы $$y=x^2$$, включая границы.

Ответ

1) $$C=\{(x;y)\mid y\le -x^2+1,\; y\ge -4\}$$;
2) $$C=\{(2;-1)\}$$;
3) $$C=\{(x;y)\mid x^2+y^2\ge 4,\; y\le x^2\}$$.