Упр.16.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.27. Решите уравнение (12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 16-27 95

Преобразуем левую часть уравнения, сгруппировав множители:

$$ (12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5 $$

$$ (12x-1)(3x-1)(6x-1)(4x-1)=5 $$

Заметим, что

$$ (12x-1)(3x-1)=36x^2-15x+1, $$

$$ (6x-1)(4x-1)=24x^2-10x+1. $$

Тогда

$$ (36x^2-15x+1)(24x^2-10x+1)=5. $$

Раскроем скобки:

$$ 864x^4-720x^3+210x^2-25x+1=5 $$

$$ 864x^4-720x^3+210x^2-25x-4=0. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 864x^4-432x^3-288x^3+144x^2+66x^2-33x+8x-4=0 $$

$$ 432x^3(2x-1)-144x^2(2x-1)+33x(2x-1)+4(2x-1)=0 $$

$$ (2x-1)(432x^3-144x^2+33x+4)=0. $$

Теперь разложим кубический многочлен:

$$ 432x^3-144x^2+33x+4=(12x+1)(36x^2-15x+4). $$

Тогда

$$ (2x-1)(12x+1)(36x^2-15x+4)=0. $$

Решаем полученные уравнения:

$$ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12, $$

$$ 12x+1=0 \Rightarrow x=-\frac1{12}. $$

Для квадратного уравнения

$$ 36x^2-15x+4=0 $$

дискриминант равен

$$ D=(-15)^2-4\cdot 36\cdot 4=225-576=-351<0. $$

Значит, действительных корней оно не имеет.

Ответ

$$ x=-\frac1{12},\ \frac12 $$