Упр.16.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\left(12x-1\right)\left(6x-1\right)\left(4x-1\right)\left(3x-1\right)=5$$.

Преобразуем левую часть уравнения, сгруппировав множители:

$$(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$$

$$(12x-1)(3x-1)(6x-1)(4x-1)=5$$

Заметим, что

$$(12x-1)(3x-1)=36x^2-15x+1,$$

$$(6x-1)(4x-1)=24x^2-10x+1.$$

Тогда

$$(36x^2-15x+1)(24x^2-10x+1)=5.$$

Раскроем скобки:

$$864x^4-720x^3+210x^2-25x+1=5$$

$$864x^4-720x^3+210x^2-25x-4=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$864x^4-432x^3-288x^3+144x^2+66x^2-33x+8x-4=0$$

$$432x^3(2x-1)-144x^2(2x-1)+33x(2x-1)+4(2x-1)=0$$

$$(2x-1)(432x^3-144x^2+33x+4)=0.$$

Теперь разложим кубический многочлен:

$$432x^3-144x^2+33x+4=(12x+1)(36x^2-15x+4).$$

Тогда

$$(2x-1)(12x+1)(36x^2-15x+4)=0.$$

Решаем полученные уравнения:

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12,$$

$$12x+1=0 \Rightarrow x=-\frac1{12}.$$

Для квадратного уравнения

$$36x^2-15x+4=0$$

дискриминант равен

$$D=(-15)^2-4\cdot 36\cdot 4=225-576=-351<0.$$

Значит, действительных корней оно не имеет.

Ответ

$$x=-\frac1{12},\ \frac12$$