Упр.16.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ система неравенств
   $$\begin{cases} |2x-a|\,+\,|x+a|\mathrel{?}6,\\ 2x^2+x-2a\mathrel{?}2 \end{cases}$$
   имеет:
   1) решения;
   2) единственное решение;
   3) только отрицательные решения;
   4) только положительные решения;
   5) только решения, удовлетворяющие условию $$|x|\mathrel{?}1$$;
   6) множество решений, содержащих не более одного целого числа?

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} |2x-a|+|x+a|\le 6,\\ 2x^2+x-2a\ge 2. \end{cases}$$

Первое неравенство задаёт на плоскости $$x a$$ область, симметричную относительно точки $$O(0;0)$$, так как

$$|2(-x)-(-a)|+|-x+(-a)|=|2x-a|+|x+a|.$$

Разберём первое неравенство по знакам выражений под модулем.

Если $$a\le 2x$$ и $$a\ge -x$$, то

$$(2x-a)+(x+a)\le 6,$$

откуда

$$3x\le 6,\qquad x\le 2.$$

Если $$a\le 2x$$ и $$a\le -x$$, то

$$(2x-a)-(x+a)\le 6,$$

откуда

$$x-2a\le 6,\qquad a\ge \frac{x}{2}-3.$$

Если $$a\ge 2x$$ и $$a\ge -x$$, то

$$(2x-a)+(x+a)\le 6,$$

и снова получаем

$$x\le 2.$$

Если $$a\ge 2x$$ и $$a\le -x$$, то

$$(2x-a)-(x+a)\le 6,$$

откуда

$$x-2a\le 6,\qquad a\ge \frac{x}{2}-3.$$

Второе неравенство преобразуем:

$$2x^2+x-2a\ge 2 \iff a\le x^2+\frac{x}{2}-1.$$

Значит, для каждого $$x$$ значения параметра $$a$$ должны удовлетворять одновременно условиям, задаваемым первым и вторым неравенствами. По графику получаем следующие значения параметра.

1. Система имеет решения при $$a\in[-4;4].$$
2. Единственное решение при $$a\in\{-4;4\}.$$
3. Только отрицательные решения при $$a\in[-4;-3).$$
4. Только положительные решения при $$a\in(2;4].$$
5. Только решения, удовлетворяющие условию $$|x|\ge 1,$$ при $$a\in[-4;-3{,}5]\cup[0{,}5;4].$$
6. Множество решений, содержащее не более одного целого числа, при $$a\in[-4;-3{,}5)\cup(2;4].$$

Ответ

1) $$a\in[-4;4]$$;
2) $$a\in\{-4;4\}$$;
3) $$a\in[-4;-3)$$;
4) $$a\in(2;4]$$;
5) $$a\in[-4;-3{,}5]\cup[0{,}5;4]$$;
6) $$a\in[-4;-3{,}5)\cup(2;4]$$.