Упр.16.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.24. При каких значениях параметра a неравенство 2 > |x+a|+x^2 имеет хотя бы одно положительное решение?

Подробный ответ

Пусть

$$2>|x+a|+x^2.$$

Перенесём $$x^2$$ в левую часть:

$$2-x^2>|x+a|.$$

Чтобы неравенство имело хотя бы одно положительное решение, рассмотрим графики функций $$y=2-x^2$$ и $$y=|x+a|$$ при $$x>0$$.

Для существования хотя бы одной точки пересечения достаточно, чтобы одна из ветвей ломаной $$y=|x+a|$$ касалась параболы $$y=2-x^2$$. Для левой ветви получаем уравнение касания:

$$-x-a=2-x^2.$$

Тогда

$$x^2-x-(a+2)=0.$$

При касании дискриминант равен нулю:

$$D=1+4(a+2)=9+4a,$$

$$9+4a=0,$$

$$a=-\frac{9}{4}.$$

Кроме того, чтобы решение было положительным, точка касания должна лежать при $$x>0$$, что выполняется.

Аналогично для правой ветви ломаной получаем границу $$a=-2$$, и при всех значениях параметра между этими границами неравенство имеет хотя бы одно положительное решение.

Следовательно,

$$a\in\left(-\frac{9}{4},\,2\right).$$