Упр.16.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.23. При каких значениях параметра a система {(x^2+(5a+2)x+4a^2+2a < 0, x^2+a^2=4) имеет решения?

Из второго уравнения системы получаем

$$x^2+a^2=4 \;\;\Rightarrow\;\; x^2=4-a^2.$$

Чтобы уравнение имело действительные решения, нужно

$$4-a^2\ge 0,\qquad |a|\le 2.$$

Первое неравенство системы:

$$x^2+(5a+2)x+4a^2+2a<0.$$

Найдём его корни. Дискриминант:

$$D=(5a+2)^2-4(4a^2+2a)=25a^2+20a+4-16a^2-8a=9a^2+12a+4=(3a+2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-(5a+2)\pm(3a+2)}{2},$$

откуда

$$x_1=-4a-2,\qquad x_2=-a.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$x^2+(5a+2)x+4a^2+2a<0$$

выполняется между корнями. Значит, система имеет решения тогда и только тогда, когда окружность

$$x^2+a^2=4$$

пересекает промежуток между числами $$-4a-2$$ и $$-a$$.

Рассмотрим границы этого промежутка.

1) При совпадении корней:

$$-4a-2=-a \;\;\Rightarrow\;\; 3a=-2 \;\;\Rightarrow\;\; a=-\frac23.$$

2) При пересечении с первой границей:

$$(-4a-2)^2+a^2=4,$$

$$16a^2+16a+4+a^2=4,$$

$$17a^2+16a=0,$$

$$a(17a+16)=0,$$

$$a=0 \;\;\text{или}\;\; a=-\frac{16}{17}.$$

3) При пересечении со второй границей:

$$(-a)^2+a^2=4,$$

$$2a^2=4,$$

$$a^2=2,$$

$$a=\pm\sqrt2.$$

С учётом условия $$|a|\le 2$$ и расположения корней получаем, что система имеет решения при

$$a\in\left(-\sqrt2,-\frac{16}{17}\right)\cup(0,\sqrt2).$$

Ответ

$$a\in\left(-\sqrt2,-\frac{16}{17}\right)\cup(0,\sqrt2).$$