Упр.16.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.22. При каких значениях параметра a система {(x^2-(3a+1)x+2a^2+2a < 0, x+a^2=0) имеет решения?

Из второго уравнения системы получаем:

$$x+a^2=0 \Rightarrow x=-a^2.$$

Подставим это значение в неравенство:

$$(-a^2)^2-(3a+1)(-a^2)+2a^2+2a<0.$$

Упростим:

$$a^4+(3a+1)a^2+2a^2+2a<0,$$

$$a^4+3a^3+3a^2+2a<0,$$

$$a(a^3+3a^2+3a+2)<0.$$

Разложим многочлен на множители:

$$a^3+3a^2+3a+2=(a+1)^3+1=(a+2)(a^2+a+1).$$

Тогда

$$a(a+2)(a^2+a+1)<0.$$

Так как $$a^2+a+1>0$$ при любых $$a$$, знак произведения определяется только множителями $$a$$ и $$a+2$$:

$$a(a+2)<0.$$

Отсюда

$$-2<a<0.$$

Ответ

$$a\in(-2;0).$$