Упр.16.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.21. Найдите все значения параметра a, при которых система неравенств {(x^2-4x+a?0, x^2+2x-3a?0) имеет единственное решение.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое неравенство как ограничение на параметр $$a$$.

Из первого неравенства

$$x^2-4x+a\le 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a\le 4x-x^2.$$

Функция $$y=4x-x^2$$ — парабола, ветви которой направлены вниз. Чтобы система имела единственное решение, прямая $$a=\text{const}$$ должна касаться области пересечения графиков в одной точке. Это возможно в точке вершины параболы.

Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot(-1)}=2,$$

$$a_0=4\cdot 2-2^2=8-4=4.$$

Значит, для первого неравенства единственное значение параметра, при котором граница даёт одну общую точку, — $$a=4$$.

Из второго неравенства

$$x^2+2x-3a\le 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a\ge \frac13x^2+\frac23x.$$

Функция $$y=\frac13x^2+\frac23x$$ — парабола, ветви направлены вверх. Её вершина:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2/3}{2\cdot(1/3)}=-1,$$

$$a_0=\frac13(-1)^2+\frac23(-1)=\frac13-\frac23=-\frac13.$$

Следовательно, для второго неравенства единственное значение параметра, соответствующее одной общей точке, — $$a=0$$.

Проверяя пересечение областей решений двух неравенств, получаем, что система имеет единственное решение при значениях параметра, когда границы касаются в одной точке пересечения. Это происходит при

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=4.$$