Упр.16.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.20. Найдите все значения параметра a, при которых система неравенств {(x^2+a+4x+3?0, 2a-x+2?0) имеет единственное решение.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2+a+4x+3 \le 0,\\ 2a-x+2 \ge 0. \end{cases} $$

Первое неравенство выразим относительно параметра $$a$$:

$$ a \le -x^2-4x-3. $$

Второе неравенство:

$$ 2a-x+2 \ge 0 \;\Rightarrow\; a \ge \frac{x-2}{2}. $$

Чтобы система имела единственное решение по $$x$$, графики функций

$$ a=-x^2-4x-3 \quad \text{и} \quad a=\frac{x-2}{2} $$

должны касаться в одной точке, то есть иметь единственную общую точку.

Найдём точки пересечения:

$$ -x^2-4x-3=\frac{x-2}{2}. $$

Умножим на $$2$$:

$$ -2x^2-8x-6=x-2. $$

$$ 2x^2+9x+4=0. $$

$$ D=9^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49. $$

$$ x_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{4}. $$

Получаем:

$$ x_1=-4,\qquad x_2=-\frac12. $$

Найдём соответствующие значения $$a$$:

$$ a=\frac{x-2}{2}. $$

При $$x=-4$$:

$$ a=\frac{-4-2}{2}=-3. $$

При $$x=-\frac12$$:

$$ a=\frac{-\frac12-2}{2}=-\frac54. $$

Проверим, при каких из этих значений система действительно имеет единственное решение. Для этого нужно, чтобы при найденном $$a$$ оба неравенства выполнялись только в одной общей точке. Подходит только значение $$a=-3$$, при котором общая точка одна.

Ответ: $$a=-3$$.