Упр.16.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система неравенств $$\left\{\begin{array}{l}x^2+a+4x+3?0,\\2a-x+2?0\end{array}\right.$$ имеет единственное решение.

Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} x^2+a+4x+3 \le 0,\\ 2a-x+2 \ge 0. \end{cases}$$

Первое неравенство выразим относительно параметра $$a$$:

$$a \le -x^2-4x-3.$$

Второе неравенство:

$$2a-x+2 \ge 0 \;\Rightarrow\; a \ge \frac{x-2}{2}.$$

Чтобы система имела единственное решение по $$x$$, графики функций

$$a=-x^2-4x-3 \quad \text{и} \quad a=\frac{x-2}{2}$$

должны касаться в одной точке, то есть иметь единственную общую точку.

Найдём точки пересечения:

$$-x^2-4x-3=\frac{x-2}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$-2x^2-8x-6=x-2.$$

$$2x^2+9x+4=0.$$

$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49.$$

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=-4,\qquad x_2=-\frac12.$$

Найдём соответствующие значения $$a$$:

$$a=\frac{x-2}{2}.$$

При $$x=-4$$:

$$a=\frac{-4-2}{2}=-3.$$

При $$x=-\frac12$$:

$$a=\frac{-\frac12-2}{2}=-\frac54.$$

Проверим, при каких из этих значений система действительно имеет единственное решение. Для этого нужно, чтобы при найденном $$a$$ оба неравенства выполнялись только в одной общей точке. Подходит только значение $$a=-3$$, при котором общая точка одна.

Ответ: $$a=-3$$.