Упр.16.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |x^2-1|?y^2-1; 2) |x^2+y^2-2|?2(x+y).

1. $$|x^2-1|\ge y^2-1.$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$x^2-1\ge 0,$$ то $$|x^2-1|=x^2-1,$$ и получаем

   $$x^2-1\ge y^2-1,$$

   откуда

   $$x^2\ge y^2,\qquad |x|\ge |y|.$$

   При этом должно выполняться $$|x|\ge 1.$$

   2) Если $$x^2-1<0,$$ то $$|x^2-1|=1-x^2,$$ и тогда

   $$1-x^2\ge y^2-1,$$

   то есть

   $$x^2+y^2\le 2.$$

   Здесь обязательно $$|x|\le 1.$$

   Кроме того, если $$y^2-1\le 0,$$ то неравенство выполняется автоматически, то есть $$|y|\le 1.$$

   Итак, график состоит из объединения областей, удовлетворяющих условиям:

   $$|x|\ge 1,\ |x|\ge |y|$$

   и

   $$|x|\le 1,\ x^2+y^2\le 2.$$

2. $$|x^2+y^2-2|\le 2(x+y).$$

   Так как левая часть неотрицательна, то обязательно

   $$2(x+y)\ge 0,\qquad x+y\ge 0.$$

   Далее рассмотрим два случая.

   1) Если $$x^2+y^2-2\ge 0,$$ то

   $$x^2+y^2-2\le 2x+2y,$$

   $$x^2-2x+y^2-2y\le 2,$$

   $$ (x-1)^2+(y-1)^2\le 4.$$

   2) Если $$x^2+y^2-2\le 0,$$ то

   $$x^2+y^2-2\le 2x+2y,$$

   $$x^2-2x+y^2-2y\ge -2,$$

   $$ (x+1)^2+(y+1)^2\ge 4.$$

   С учётом условия $$x+y\ge 0$$ получаем искомую область.

Ответ

1) Объединение областей $$\{|x|\ge 1,\ |x|\ge |y|\}$$ и $$\{|x|\le 1,\ x^2+y^2\le 2\}.$$
2) Область, задаваемая условиями $$x+y\ge 0,$$ $$ (x-1)^2+(y-1)^2\le 4,$$ $$ (x+1)^2+(y+1)^2\ge 4.$$