Упр.16.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.15. Изобразите график неравенства |2x-y|+|x+y|?6.

Рассмотрим неравенство $$|2x-y|+|x+y|\le 6.$$

График симметричен относительно начала координат, так как при замене $$x\to -x,$$ $$y\to -y$$ левая часть не меняется:

$$|2(-x)-(-y)|+|-x+(-y)|=|2x-y|+|x+y|.$$

Разобьём плоскость на области по прямым $$y=2x$$ и $$y=-x.$$

1. Если $$y\le 2x$$ и $$y\ge -x,$$ то

   $$|2x-y|+|x+y|=(2x-y)+(x+y)=3x,$$

   откуда

   $$3x\le 6,\quad x\le 2.$$

2. Если $$y\ge 2x$$ и $$y\ge -x,$$ то

   $$|2x-y|+|x+y|=(y-2x)+(x+y)=2y-x,$$

   и получаем

   $$2y-x\le 6,\quad y\le \frac{x}{2}+3.$$

3. Если $$y\le 2x$$ и $$y\le -x,$$ то

   $$|2x-y|+|x+y|=(2x-y)-(x+y)=x-2y,$$

   значит

   $$x-2y\le 6,\quad y\ge \frac{x}{2}-3.$$

4. Если $$y\ge 2x$$ и $$y\le -x,$$ то

   $$|2x-y|+|x+y|=(y-2x)-(x+y)=-3x,$$

   откуда

   $$-3x\le 6,\quad x\ge -2.$$

Граница области задаётся прямыми $$x=2,$$ $$x=-2,$$ $$y=\frac{x}{2}+3,$$ $$y=\frac{x}{2}-3.$$

Искомая область — выпуклый четырёхугольник с вершинами $$(-2,2),\ (2,4),\ (2,-2),\ (-2,-4).$$

Ответ

Область, ограниченная прямыми $$x=-2,$$ $$x=2,$$ $$y=\frac{x}{2}+3,$$ $$y=\frac{x}{2}-3,$$ с вершинами $$(-2,2),\ (2,4),\ (2,-2),\ (-2,-4).$$