Упр.16.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 16.14. Изобразите график неравенства |x+y|+|x-y|?2.

Рассмотрим неравенство $$|x+y|+|x-y|\le 2.$$

График симметричен относительно обеих осей координат, так как при замене $$x$$ на $$-x$$ или $$y$$ на $$-y$$ выражение не меняется.

Рассмотрим случай $$x\ge 0,\ y\ge 0.$$ Тогда нужно учесть знак выражения $$x-y$$.

Если $$y\le x,$$ то

$$|x+y|+|x-y|=(x+y)+(x-y)=2x\le 2,$$

откуда $$x\le 1.$$

Если $$y\ge x,$$ то

$$|x+y|+|x-y|=(x+y)+(y-x)=2y\le 2,$$

откуда $$y\le 1.$$

Значит, в первой четверти решение задаётся границей квадрата с вершинами $$\,(0,0),\ (1,0),\ (1,1),\ (0,1).$$

С учётом симметрии относительно осей координат получаем весь график неравенства: это множество точек внутри ромба с вершинами $$\,(1,0),\ (0,1),\ (-1,0),\ (0,-1).$$

Эквивалентно, можно записать:

$$|x|+|y|\le 1.$$

Ответ

График неравенства $$|x+y|+|x-y|\le 2$$ — замкнутый ромб с вершинами $$\,(1,0),\ (0,1),\ (-1,0),\ (0,-1),$$ то есть множество точек, для которых $$|x|+|y|\le 1.$$