Упр.15.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) y?-x^2-3x; 4) xy?6;
2) (x+2)^2+y^2?4; 5) xy > -12;
3) x^2+y^2-4y > 0; 6) (x+y)(x-y-1) > 0.

1. $$y\le -x^2-3x$$

   Это парабола $$y=-x^2-3x$$, ветви направлены вниз.

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot(-1)}=-1{,}5,$$

   $$y_0=(-1{,}5)^2-3(-1{,}5)=2{,}25.$$

   Для построения возьмём точки:

   $$x=-1,\; y=2;\qquad x=0,\; y=0;\qquad x=1,\; y=-4.$$

   Искомая область — все точки на параболе и ниже неё.

2. $$\left(x+2\right)^2+y^2\le 4$$

   Это окружность с центром $$(-2,0)$$ и радиусом $$2$$ вместе с внутренней областью.

3. $$x^2+y^2-4y>0$$

   Преобразуем:

   $$x^2+y^2-4y+4>4,$$

   $$x^2+\left(y-2\right)^2>4.$$

   Это все точки вне окружности с центром $$\left(0,2\right)$$ и радиусом $$2$$, без самой окружности.

4. $$xy\le 6$$

   Если $$x>0$$, то

   $$y\le \frac{6}{x}.$$

   Если $$x<0$$, то

   $$y\ge \frac{6}{x}.$$

   При $$x=0$$ получаем $$0\le 6$$, значит подходят все значения $$y$$.

   Граница — гипербола $$y=\frac{6}{x}$$, нужная область лежит по обе стороны от неё с учётом знака $$x$$.

5. $$xy>-12$$

   Если $$x>0$$, то

   $$y>-\frac{12}{x}.$$

   Если $$x<0$$, то

   $$y<-\frac{12}{x}.$$

   При $$x=0$$ имеем $$0>-12$$, значит подходят все значения $$y$$.

   Граница — гипербола $$y=-\frac{12}{x}$$, берётся область по нужную сторону от неё в зависимости от знака $$x$$.

6. $$\left(x+y\right)\left(x-y-1\right)>0$$

   Преобразуем к виду произведения двух множителей:

   $$\left(y+x\right)\left(y-\left(x-1\right)\right)<0.$$

   Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

   либо $$y>-x$$ и $$y<x-1,$$
   либо $$y<-x$$ и $$y>x-1.$$

   Итак, решение — точки между прямыми $$y=-x$$ и $$y=x-1$$, где произведение отрицательно.

Ответ

1) область на и ниже параболы $$y=-x^2-3x$$;
2) диск $$\left(x+2\right)^2+y^2\le 4$$;
3) внешность окружности $$x^2+\left(y-2\right)^2>4$$;
4) $$xy\le 6$$;
5) $$xy>-12$$;
6) $$\left(y+x\right)\left(y-\left(x-1\right)\right)<0$$.