Упр.15.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Графиками каких неравенств являются открытые полуплоскости:

1. 1) $$3x>y+1$$; 2) $$x>0$$; 3) $$y?0$$; 4) $$x+y?1$$; 5) $$\frac{y-x-1}{x^2+y^2}<0$$; 6) $$\frac{x+y}{x^2+y^2}>0$$; 7) $$\frac{(x+y)^2}{x+y}?0$$; 8) $$\sqrt{x}>-y^2$$; 9) $$|x|>x?$$

Открытая полуплоскость задаётся неравенством первой степени без граничной прямой. Проверим каждое неравенство.

1. $$3x>y+1$$
   
   или
   $$3x-y>1.$$
   Это неравенство задаёт открытую полуплоскость.
2. $$x>0.$$
   Это открытая полуплоскость.
3. $$y\le 0.$$
   Граница входит в решение, значит это не открытая полуплоскость.
4. $$x+y\ge 1.$$
   Граница входит в решение, значит это не открытая полуплоскость.
5. $$\frac{y-x-1}{x^2+y^2}<0.$$
   Так как $$x^2+y^2>0$$ при всех $$x,y$$, кроме точки $$\left(0;0\right)$$, то
   $$y-x-1<0,$$
   то есть
   $$y-x<1.$$
   Но точка $$\left(0;0\right)$$ исключается, поэтому это не открытая полуплоскость.
6. $$\frac{x+y}{x^2+y^2}>0.$$
   При $$\left(x,y\right)\ne\left(0,0\right)$$ знаменатель положителен, значит
   $$x+y>0.$$
   Точка $$\left(0;0\right)$$ исключается, поэтому это не открытая полуплоскость.
7. $$\frac{(x+y)^2}{x+y}\ge 0.$$
   При $$x+y\ne 0$$ выражение равно $$x+y$$, а при $$x+y=0$$ не определено. Получаем
   $$x+y>0.$$
   Это открытая полуплоскость.
8. $$\sqrt{x}>-y^2.$$
   Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$ и $$-y^2\le 0$$, то при $$x>0$$ неравенство выполняется. Но область определения: $$x\ge 0$$, и точка $$\left(0;0\right)$$ исключается. Значит, это не открытая полуплоскость.
9. $$|x|>x.$$
   Это равносильно
   $$x<0.$$
   Следовательно, это открытая полуплоскость.

Ответ

1), 2), 7), 9).