Упр.15.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ множеством решений неравенства $$2|x+1|+|a-4|\leq 2$$ является промежуток вида $$[m;n]$$, длина которого не меньше 1?

Рассмотрим неравенство

$$2|x+1|+|a-4|\le 2.$$

Преобразуем его:

$$|a-4|\le 2-2|x+1|.$$

Чтобы решения по $$x$$ существовали, правая часть должна быть неотрицательной:

$$2-2|x+1|\ge 0,$$

откуда

$$|x+1|\le 1.$$

Тогда

$$x\in[-2;0].$$

Для каждого такого $$x$$ множество решений по $$a$$ задаётся неравенством

$$|a-4|\le 2-2|x+1|.$$

Это промежуток вида

$$[\,4-(2-2|x+1|);\;4+(2-2|x+1|)\,],$$

длина которого равна

$$2\bigl(2-2|x+1|\bigr)=4-4|x+1|.$$

По условию длина этого промежутка не меньше $$1$$:

$$4-4|x+1|\ge 1,$$

$$|x+1|\le \frac34.$$

Тогда

$$x\in\left[-\frac74;\,-\frac14\right].$$

Соответствующие значения $$a$$ получаем из концов промежутка:

при $$x=-\frac74$$ или $$x=-\frac14$$ имеем

$$|a-4|=2-2\cdot\frac34=\frac12,$$

то есть

$$a=4\pm\frac12.$$

Следовательно,

$$a\in\left[\frac72;\,\frac92\right].$$

Ответ

$$a\in\left[\frac72;\,\frac92\right].$$