Упр.15.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 15.15. При каких значениях параметра a множеством решений неравенства 2|x+1|+|a-4|?2 является промежуток вида [m; n], длила которого не меньше 1?

Рассмотрим неравенство

$$2|x+1|+|a-4|\le 2.$$

Преобразуем его:

$$|a-4|\le 2-2|x+1|.$$

Чтобы решения по $x$ существовали, правая часть должна быть неотрицательной:

$$2-2|x+1|\ge 0,$$

откуда

$$|x+1|\le 1.$$

Тогда

$$x\in[-2;0].$$

Для каждого такого $x$ множество решений по $a$ задаётся неравенством

$$|a-4|\le 2-2|x+1|.$$

Это промежуток вида

$$[\,4-(2-2|x+1|);\;4+(2-2|x+1|)\,],$$

длина которого равна

$$2\bigl(2-2|x+1|\bigr)=4-4|x+1|.$$

По условию длина этого промежутка не меньше $1$:

$$4-4|x+1|\ge 1,$$

$$|x+1|\le \frac34.$$

Тогда

$$x\in\left[-\frac74;\,-\frac14\right].$$

Соответствующие значения $a$ получаем из концов промежутка:

при $x=-\frac74$ или $x=-\frac14$ имеем

$$|a-4|=2-2\cdot\frac34=\frac12,$$

то есть

$$a=4\pm\frac12.$$

Следовательно,

$$a\in\left[\frac72;\,\frac92\right].$$

Ответ

$$a\in\left[\frac72;\,\frac92\right].$$