Упр.15.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех целых $$n$$ значение выражения $$(n-2)(n-1)n(n+1)+1$$ является квадратом целого числа.

Преобразуем выражение:

$$N=(n-2)(n-1)n(n+1)+1$$

Сгруппируем множители:

$$N=(n^2-1)(n^2-2n)+1$$

Раскроем скобки:

$$N=n^4-2n^3-n^2+2n+1$$

Теперь представим это выражение в виде квадрата:

$$N=(n^2-1)^2-2n(n^2-1)+n^2$$

$$N=(n^2-1-n)^2$$

Следовательно, при любом целом $$n$$ значение выражения является квадратом целого числа.

Ответ

$$(n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n^2-n-1)^2$$