Упр.15.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 15.19. Докажите, что при всех целых n значение выражения (n-2)(n-1)n(n+1)+1 является квадратом целого числа.

Преобразуем выражение:

$$ N=(n-2)(n-1)n(n+1)+1 $$

Сгруппируем множители:

$$ N=(n^2-1)(n^2-2n)+1 $$

Раскроем скобки:

$$ N=n^4-2n^3-n^2+2n+1 $$

Теперь представим это выражение в виде квадрата:

$$ N=(n^2-1)^2-2n(n^2-1)+n^2 $$

$$ N=(n^2-1-n)^2 $$

Следовательно, при любом целом $n$ значение выражения является квадратом целого числа.

Ответ

$$ (n-2)(n-1)n(n+1)+1=(n^2-n-1)^2 $$