Упр.15.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$11\cdot 3^{2n}+10\cdot 2^n$$ кратно 7.

Обозначим

$$N=11\cdot 3^{2n}+10\cdot 2^n=11\cdot 9^n+10\cdot 2^n.$$

Добавим и вычтем $$11\cdot 2^n$$:

$$N=11\cdot 9^n-11\cdot 2^n+21\cdot 2^n =11(9^n-2^n)+21\cdot 2^n.$$

По формуле разности степеней:

$$9^n-2^n=(9-2)(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot 2+\cdots+9\cdot 2^{n-2}+2^{n-1}).$$

Тогда

$$N=11\cdot 7(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot 2+\cdots+9\cdot 2^{n-2}+2^{n-1})+21\cdot 2^n.$$

Вынесем $$7$$ за скобки:

$$N=7\Bigl(11(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot 2+\cdots+9\cdot 2^{n-2}+2^{n-1})+3\cdot 2^n\Bigr).$$

Следовательно, $$N$$ кратно $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$11\cdot 3^{2n}+10\cdot 2^n \text{ кратно } 7 \text{ при всех } n\in \mathbb{N}.$$