Упр.15.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 15.18. Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения 11·3^(2n)+10·2^n кратно 7.

Обозначим

$$N=11\cdot 3^{2n}+10\cdot 2^n=11\cdot 9^n+10\cdot 2^n.$$

Добавим и вычтем $11\cdot 2^n$:

$$ N=11\cdot 9^n-11\cdot 2^n+21\cdot 2^n =11(9^n-2^n)+21\cdot 2^n. $$

По формуле разности степеней:

$$ 9^n-2^n=(9-2)(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot 2+\cdots+9\cdot 2^{n-2}+2^{n-1}). $$

Тогда

$$ N=11\cdot 7(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot 2+\cdots+9\cdot 2^{n-2}+2^{n-1})+21\cdot 2^n. $$

Вынесем $7$ за скобки:

$$ N=7\Bigl(11(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot 2+\cdots+9\cdot 2^{n-2}+2^{n-1})+3\cdot 2^n\Bigr). $$

Следовательно, $N$ кратно $7$ при любом натуральном $n$.

Ответ

$$11\cdot 3^{2n}+10\cdot 2^n \text{ кратно } 7 \text{ при всех } n\in \mathbb{N}.$$