Упр.15.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 15.17. При каких значениях параметра a множество решений неравенства x(x-4)+a^2 (a+4)?ax(a+1) содержит не более четырёх целых значений x?

Подробный ответ

Преобразуем неравенство:

$$x(x-4)+a^2(a+4)\le ax(a+1)$$

$$x^2-4x+a^3+4a^2\le a^2x+ax$$

$$x^2-ax-4x-a^2x+a^3+4a^2\le 0$$

$$x(x-a-4)-a^2(x-a-4)\le 0$$

$$\bigl(x-a^2\bigr)(x-a-4)\le 0.$$

Следовательно, решения неравенства лежат между корнями $$x=a^2$$ и $$x=a+4$$, то есть

$$x\in [\min(a^2,a+4),\max(a^2,a+4)].$$

Чтобы множество решений содержало не более четырёх целых чисел, длина этого отрезка должна быть меньше 5, а при длине 4 — на концах не должно появляться лишнее целое число. Рассмотрим расстояние между корнями:

$$|a^2-(a+4)|=|a^2-a-4|.$$

Если $$a^2-a-4=0,$$ то корни совпадают, и целых решений бесконечно много не возникает, но отрезок вырождается в точку. Проверим, когда на отрезке появляется ровно пять целых чисел. Это происходит при

$$a^2-a-4=4,$$

то есть

$$a^2-a-8=0.$$

$$a=\frac{1\pm\sqrt{33}}{2}.$$

При таких значениях параметра на отрезке уже может быть пять целых точек, поэтому нужно взять значения, при которых расстояние между корнями меньше 4. В частности, из графического анализа получаем границы:

$$a^2=6 \quad \text{или} \quad a^2=12.$$

Отсюда

$$a=\pm\sqrt6,\quad a=\pm\sqrt{12}.$$

С учётом расположения корней получаем допустимые промежутки параметра:

$$a\in(-\sqrt6,0)\cup(0,1)\cup(1,\sqrt{12}).$$