Упр.15.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 15.16. Найдите все значения параметра a, при которых множество решений неравенства (x^2-a)(a-2x-8) > 0 не содержит ни одного решения неравенства x^2?4.

Рассмотрим неравенство

$$\left(x^2-a\right)\left(a-2x-8\right)>0.$$

Чтобы его решения не пересекались с решениями неравенства

$$x^2\le 4,$$

нужно, чтобы первое неравенство не имело решений при $$-2\le x\le 2.$$

Исследуем знаки множителей.

Если $$x^2-a>0,$$ то $$a<x^2.$$

Если $$a-2x-8>0,$$ то $$a>2x+8.$$

Значит, решения первого неравенства задаются системой

$$a<x^2,\qquad a>2x+8,$$

или

$$a>x^2,\qquad a<2x+8.$$

Границы этих областей задаются графиками $$a=x^2$$ и $$a=2x+8.$$

Нужно, чтобы при $$-2\le x\le 2$$ значение $$a$$ не попадало в область решений. Это возможно, если

$$a\le 0 \quad \text{или} \quad a\ge 12.$$

Проверим по значениям на концах отрезка $$[-2;2]$$:

$$x^2\le 4,\qquad 2x+8\in[4;12].$$

Следовательно, чтобы множества решений не пересекались, параметр должен удовлетворять условию

$$a\in(-\infty;0]\cup[12;+\infty).$$

Ответ

$$a\in(-\infty;0]\cup[12;+\infty).$$