Упр.15.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) y?x^2-4|x|+3; 4) x^2+y^2-4|x|-4|y|+7?0;
2) |y| < x^2-4x+3; 5) x|y| > 8;
3) |y| > x^2-4|x|+3; 6) ||x|-1|+|y|?1.

1. $$y \ge x^2 — 4|x| + 3.$$

   Рассмотрим отдельно случаи:

   $$x \ge 0:\quad y \ge x^2 — 4x + 3,$$
   $$x < 0:\quad y \ge x^2 + 4x + 3.$$

   График состоит из двух ветвей парабол, симметричных относительно оси $$Oy$$. Закрашивается область выше графика, сама граница входит.

2. $$|y| < x^2 — 4x + 3.$$

   Так как $$|y| \ge 0$$, то необходимо, чтобы

   $$x^2 — 4x + 3 > 0.$$

   Тогда

   $$-\,\bigl(x^2 — 4x + 3\bigr) < y < x^2 — 4x + 3.$$

   Граница не входит, поэтому строим пунктиром параболу $$y = x^2 — 4x + 3$$ и закрашиваем область между её ветвями там, где выражение положительно.

3. $$|y| > x^2 — 4|x| + 3.$$

   Пусть $$f(x)=x^2-4|x|+3$$. Тогда неравенство равносильно

   $$y > f(x) \quad \text{или} \quad y < -f(x).$$

   То есть нужно закрасить область вне полосы между графиками $$y=f(x)$$ и $$y=-f(x)$$, границы не входят.

4. $$x^2 + y^2 — 4|x| — 4|y| + 7 \le 0.$$

   Преобразуем:

   $$x^2 — 4|x| + 4 + y^2 — 4|y| + 4 \le 1,$$
   $$\bigl(|x|-2\bigr)^2 + \bigl(|y|-2\bigr)^2 \le 1.$$

   Это объединение четырёх кругов радиуса $$1$$ с центрами $$(-2,2),\ (2,2),\ (-2,-2),\ (2,-2)$$. Закрашиваются все точки внутри и на границе этих кругов.

5. $$x|y| > 8.$$

   Если $$x \le 0$$, то левая часть не может быть больше $$8$$, значит $$x > 0$$. Тогда

   $$|y| > \frac{8}{x}.$$

   Следовательно,

   $$y > \frac{8}{x} \quad \text{или} \quad y < -\frac{8}{x}, \qquad x > 0.$$

   Граница задаётся гиперболами $$y=\frac{8}{x}$$ и $$y=-\frac{8}{x}$$, они не входят. Закрашиваются области выше верхней ветви и ниже нижней ветви при $$x>0$$.

6. $$\bigl||x|-1\bigr| + |y| \le 1.$$

   Перенесём:

   $$|y| \le 1 — \bigl||x|-1\bigr|.$$

   Правая часть должна быть неотрицательной, значит

   $$\bigl||x|-1\bigr| \le 1.$$

   Это даёт ромбовидную область с вершинами $$(-2,0),\ (0,1),\ (2,0),\ (0,-1)$$ и симметричную такую же часть слева относительно оси $$Oy$$. Граница входит.

Ответ

1) область выше графика $$y=x^2-4|x|+3$$;
2) $$-\,\bigl(x^2-4x+3\bigr)<y<x^2-4x+3$$ при $$x^2-4x+3>0$$;
3) область вне полосы между графиками $$y=x^2-4|x|+3$$ и $$y=-x^2+4|x|-3$$;
4) четыре круга радиуса $$1$$ с центрами $$(-2,2),\ (2,2),\ (-2,-2),\ (2,-2)$$;
5) $$y>\dfrac{8}{x}$$ или $$y<-\dfrac{8}{x}$$, $$x>0$$;
6) область, ограниченная ромбами с вершинами $$(-2,0),\ (0,1),\ (2,0),\ (0,-1)$$ и симметричной частью относительно оси $$Oy$$.