Упр.15.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) y < |x^2-4x|; 6) |x|y > 3;
2) y?x^2-4|x|; 7) x|y|?6;
3) y?|x^2-4|x||; 8) |xy| > 12;
4) x^2-2|x|+y^2?0; 9) |x|+|y|?1;
5) x^2-2|x|+y^2-2|y|+1 > 0; 10) |x|-|y| > 1.
$$y<|x^2-4x|.$$
Построим график функции $$y=|x^2-4x|.$$
Сначала рассмотрим параболу $$y=x^2-4x=(x-2)^2-4.$$ Её вершина: $$\left(2,-4\right).$$
Так как берётся модуль, часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается вверх. Получаем график $$y=|x^2-4x|.$$
Искомая область — все точки, лежащие ниже этого графика, причём сам график не входит в решение.
$$y>x^2-4|x|.$$
Функция $$y=x^2-4|x|$$ чётная, поэтому её график симметричен относительно оси $$Oy.$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$y=x^2-4x=(x-2)^2-4,$$ при $$x<0$$ — $$y=x^2+4x=(x+2)^2-4.$$
Нужно взять область выше этого графика, не включая саму кривую.
$$y\le |x^2-4|x||.$$
Рассмотрим функцию $$y=|x^2-4|x||.$$
При $$x\ge 0$$: $$y=|x^2-4x|,$$ при $$x<0$$: $$y=|x^2+4x|.$$
Искомая область — все точки, лежащие ниже или на графике этой функции.
$$x^2-2|x|+y^2\le 0.$$
Преобразуем:
$$x^2-2|x|+1+y^2\le 1,$$
$$\left(|x|-1\right)^2+y^2\le 1.$$
Это объединение двух замкнутых кругов радиуса $$1$$ с центрами в точках $$(-1,0)$$ и $$\left(1,0\right).$$
$$x^2-2|x|+y^2-2|y|+1>0.$$
Преобразуем:
$$x^2-2|x|+1+y^2-2|y|+1>1,$$
$$\left(|x|-1\right)^2+\left(|y|-1\right)^2>1.$$
Это внешняя область вне четырёх кругов радиуса $$1$$ с центрами $$(-1,1),\ (1,1),\ (-1,-1),\ (1,-1).$$ Границы не входят.
$$|x|y>3.$$
Если $$x\ne 0,$$ то
$$y>\frac{3}{|x|}.$$
Если $$x=0,$$ то получаем $$0>3,$$ что неверно. Значит, $$x\ne 0.$$
Искомая область — точки выше гиперболы $$y=\frac{3}{|x|}.$$
$$x|y|\le 6.$$
Если $$x>0,$$ то
$$|y|\le \frac{6}{x}.$$
Если $$x=0,$$ то неравенство выполняется при любом $$y.$$
Если $$x<0,$$ то левая часть $$x|y|\le 0,$$ значит неравенство также выполняется при любом $$y.$$
Следовательно, решение состоит из всей полуплоскости $$x\le 0$$ и области между ветвями гиперболы $$|y|=\frac{6}{x}$$ при $$x>0.$$
$$|xy|>12.$$
Если $$x\ne 0,$$ то
$$|y|>\frac{12}{|x|}.$$
Если $$x=0,$$ то $$0>12,$$ что неверно. Значит, $$x\ne 0.$$
Искомая область — точки вне полосы между ветвями гиперболы $$|y|=\frac{12}{|x|}.$$
$$|x|+|y|\le 1.$$
Перепишем так:
$$|y|\le 1-|x|.$$
Это ромб с вершинами $$(-1,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (0,-1).$$ Граница входит в решение.
$$|x|-|y|>1.$$
Перенесём:
$$|y|<|x|-1.$$
Значит, нужно, чтобы $$|x|-1>0,$$ то есть $$|x|>1.$$
Искомая область — точки между прямыми $$y=\pm(|x|-1),$$ лежащие внутри двух симметричных углов, без границ.
Ответ
1) область ниже графика $$y=|x^2-4x|$$;
2) область выше графика $$y=x^2-4|x|$$;
3) область ниже или на графике $$y=|x^2-4|x||$$;
4) $$\left(|x|-1\right)^2+y^2\le 1$$;
5) $$\left(|x|-1\right)^2+\left(|y|-1\right)^2>1$$;
6) $$y>\dfrac{3}{|x|},\ x\ne 0$$;
7) $$x|y|\le 6$$;
8) $$|y|>\dfrac{12}{|x|},\ x\ne 0$$;
9) $$|x|+|y|\le 1$$;
10) $$|y|<|x|-1.$$
