Упр.14.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.8. Из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста, один из которых прибыл в город В через 40 мин, а другой — в город А через 1,5 ч после встречи. Найдите скорость движения каждого велосипедиста.

Обозначим через $$t$$ время движения велосипедистов до встречи, через $$x$$ и $$y$$ — их скорости, км/ч.

Тогда после встречи первый велосипедист доехал до города $$B$$ за $$40$$ мин, то есть за $$\frac{2}{3}$$ ч, а второй велосипедист доехал до города $$A$$ за $$1{,}5=\frac{3}{2}$$ ч.

До встречи первый велосипедист ехал $$t$$ часов, а второй — $$t$$ часов. Значит, расстояния, которые они проехали до встречи, равны:

$$xt \quad \text{и} \quad yt.$$

После встречи первый велосипедист проехал до города $$B$$ расстояние $$yt$$ за время $$\frac{2}{3}$$ ч, поэтому

$$y=\frac{yt}{\frac{2}{3}}.$$

Удобнее рассуждать через весь путь. Первый велосипедист проехал весь путь $$40$$ км за время $$t+\frac{2}{3}$$, значит

$$x=\frac{40}{t+\frac{2}{3}}.$$

Второй велосипедист проехал весь путь $$40$$ км за время $$t+\frac{3}{2}$$, значит

$$y=\frac{40}{t+\frac{3}{2}}.$$

Так как до встречи они вместе проехали $$40$$ км, получаем:

$$xt+yt=40.$$

Подставим выражения для скоростей:

$$ \frac{40t}{t+\frac{2}{3}}+\frac{40t}{t+\frac{3}{2}}=40. $$

Сократим на $$40$$:

$$ \frac{t}{t+\frac{2}{3}}+\frac{t}{t+\frac{3}{2}}=1. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ t\left(t+\frac{3}{2}\right)+t\left(t+\frac{2}{3}\right)=\left(t+\frac{2}{3}\right)\left(t+\frac{3}{2}\right). $$

Раскроем скобки:

$$ 2t^2+\frac{13}{6}t=t^2+\frac{13}{6}t+1. $$

Отсюда

$$t^2=1,$$

значит, $$t=1$$, так как время положительно.

Теперь найдём скорости:

$$ x=\frac{40}{1+\frac{2}{3}}=\frac{40}{\frac{5}{3}}=24, $$

$$ y=\frac{40}{1+\frac{3}{2}}=\frac{40}{\frac{5}{2}}=16. $$

Ответ

$$24\ \text{км/ч};\ 16\ \text{км/ч}.$$