Упр.14.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.31. Сколько решений в зависимости от значения параметра a имеет уравнение |x+5|+|x-3|=a?

Рассмотрим уравнение $$|x+5|+|x-3|=a.$$

Разобьём числовую прямую на промежутки по точкам $$x=-5$$ и $$x=3$$.

1. Если $$x\ge 3,$$ то

   $$|x+5|+|x-3|=(x+5)+(x-3)=2x+2.$$

   Тогда уравнение принимает вид $$2x+2=a,$$ откуда $$x=\frac{a-2}{2}.$$

   Это решение подходит при условии $$x\ge 3,$$ то есть

   $$\frac{a-2}{2}\ge 3 \;\Rightarrow\; a\ge 8.$$

2. Если $$-5\le x<3,$$ то

   $$|x+5|+|x-3|=(x+5)+(3-x)=8.$$

   Значит, при $$a=8$$ любое $$x\in[-5;3)$$ является решением, то есть решений бесконечно много.

3. Если $$x<-5,$$ то

   $$|x+5|+|x-3|=-(x+5)-(x-3)=-2x-2.$$

   Тогда $$-2x-2=a,$$ откуда $$x=-\frac{a+2}{2}.$$

   Это решение подходит при условии $$x<-5,$$ то есть

   $$-\frac{a+2}{2}<-5 \;\Rightarrow\; a>8.$$

Итак:

• если $$a<8,$$ решений нет;
• если $$a=8,$$ решений бесконечно много;
• если $$a>8,$$ уравнение имеет два решения.

Ответ

Если $$a<8,$$ решений нет; если $$a=8,$$ решений бесконечно много; если $$a>8,$$ два решения.