Упр.14.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.30. Решите неравенство 2/(x|x-1|)?-1.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{2}{x|x-1|}\le -1.$$

Так как левая часть должна быть отрицательной, то знаменатель обязан быть отрицательным. Поскольку $$|x-1|>0$$ при $$x\ne 1$$, знак знаменателя определяется знаком $$x$$. Значит, решения возможны только при

$$x<0.$$

При $$x<0$$ имеем $$|x-1|=1-x$$, поэтому

$$\frac{2}{x(1-x)}\le -1.$$

Умножим на $$x(1-x)$$. При $$x<0$$ и $$1-x>0$$ произведение $$x(1-x)<0$$, поэтому знак неравенства меняется:

$$2\ge -x(1-x).$$

Преобразуем:

$$2\ge x^2-x,$$

$$x^2-x-2\le 0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le 0.$$

Отсюда

$$-1\le x\le 2.$$

С учётом условия $$x<0$$ получаем

$$x\in[-1;0).$$

Ответ

$$x\in[-1;0).$$