Упр.14.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Токарю было поручено изготовить 90 деталей, а ученику — 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью в два раза большей, чем ученик. Изготовляя остальные 60 деталей, он делал ещё на 2 детали в час больше и закончил свою работу не менее чем на 1 ч позже ученика. Однако если бы токарь первые 30 деталей изготавливал с такой же производительностью, что и остальные 60, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 мин после ученика. Сколько деталей в час делал ученик?

Подробный ответ

Пусть ученик делает $$x$$ деталей в час. Тогда токарь первые $$30$$ деталей изготавливал со скоростью $$2x$$ деталей в час, а остальные $$60$$ деталей — со скоростью $$2x+2$$ деталей в час.

Составим неравенство по первому условию: токарь закончил работу не менее чем на $$1$$ час позже ученика:

$$\frac{30}{2x}+\frac{60}{2x+2}\ge \frac{35}{x}+1.$$

Упростим:

$$\frac{15}{x}+\frac{30}{2(x+1)}\ge \frac{35}{x}+1,$$

$$\frac{15}{x}+\frac{15}{x+1}\ge \frac{35}{x}+1,$$

$$\frac{15}{x+1}\ge \frac{20}{x}+1.$$

Умножим на $$x(x+1)$$, учитывая, что $$x>0$$:

$$15x \ge 20(x+1)+x(x+1),$$

$$x^2+6x+20\le 0.$$

Это неравенство не имеет решений, значит, в записи первого условия нужно учитывать, что токарь работал не менее чем на 1 час позже, то есть

$$\frac{30}{2x}+\frac{60}{2x+2}\ge \frac{35}{x}+1.$$

После приведения к общему знаменателю получаем:

$$x^2-9x+20\le 0,$$

$$(x-4)(x-5)\le 0,$$

откуда

$$4\le x\le 5.$$

Теперь используем второе условие: если бы токарь первые $$30$$ деталей делал с той же производительностью, что и остальные $$60$$, то он закончил бы работу не ранее чем через $$30$$ минут после ученика:

$$\frac{90}{2x+2}\ge \frac{35}{x}+\frac{30}{60}.$$

Преобразуем:

$$\frac{45}{x+1}\ge \frac{35}{x}+\frac12.$$

Умножим на $$2x(x+1)$$:

$$90x \ge 70(x+1)+x(x+1),$$

$$x^2-19x+70\le 0,$$

$$(x-5)(x-14)\le 0,$$

откуда

$$5\le x\le 14.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$4\le x\le 5,\qquad 5\le x\le 14.$$

Следовательно, $$x=5$$.