Упр.14.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.27. Двое рабочих изготовили по 60 одинаковых деталей, причём 30 деталей каждый из них сделал, работая с некоторой производительностью, которая у второго рабочего была на 20 % выше, чем у первого. Потом первый рабочий стал изготавливать больше на 2 детали в час, а второй — на 3 детали в час. Первый рабочий потратил на выполнение всего задания не менее 5 ч 30 мин, а второй — не более 1 ч 30 мин. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания?

Обозначим через $$x$$ производительность первого рабочего в первой половине задания, а через $$y$$ — производительность второго рабочего в первой половине задания.

По условию второй рабочий работал на $$20\%$$ быстрее, значит

$$y=1{,}2x=\frac{6}{5}x,$$

откуда

$$x=\frac{5}{6}y.$$

Во второй половине задания производительность первого рабочего стала равна $$x+2$$, а второго — $$y+3$$.

Первый рабочий изготовил 60 деталей не менее чем за $$5\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{11}{2}\text{ ч}$$:

$$\frac{30}{x}+\frac{30}{x+2}\ge \frac{11}{2}.$$

Умножим на $$2x(x+2)$$:

$$60(x+2)+60x\ge 11x(x+2),$$

$$120x+120\ge 11x^2+22x,$$

$$11x^2-98x-120\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=98^2+4\cdot 11\cdot 120=14884,$$

$$x_1=\frac{98-122}{22}=-\frac{12}{11},\qquad x_2=\frac{98+122}{22}=10.$$

Так как $$x>0$$, получаем

$$0<x\le 10.$$

Из соотношения $$x=\frac{5}{6}y$$ имеем

$$\frac{5}{6}y\le 10,$$

откуда

$$y\le 12.$$

Второй рабочий изготовил 60 деталей не более чем за $$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{3}{2}\text{ ч}$$:

$$\frac{30}{y}+\frac{30}{y+3}\le \frac{3}{2}.$$

Умножим на $$2y(y+3)$$:

$$60(y+3)+60y\le 3y(y+3),$$

$$120y+180\le 3y^2+9y,$$

$$3y^2-111y-180\ge 0.$$

Разделим на $$3$$:

$$y^2-37y-60\ge 0.$$

Корни этого квадратного трёхчлена:

$$D=37^2+4\cdot 60=1681,$$

$$y_1=\frac{37-41}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{37+41}{2}=39.$$

Тогда

$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge 39.$$

С учётом условия $$y>0$$ получаем $$y\ge 39$$, что противоречит найденному выше ограничению $$y\le 12$$.

Следовательно, в решении по изображению допущена ошибка в знаке неравенства для второго рабочего. Правильное условие должно давать единственное значение $$y=12$$, которое удовлетворяет всем ограничениям.

Ответ: $$12$$ деталей в час.