Упр.14.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.26. В 7 ч утра от первого причала отплыли две лодки. Сначала они плыли 8 км по озеру, а затем 5 км по течению реки до второго причала. Первая лодка приплыла в место назначения не позже 9 ч 50 мин, а вторая — не раньше 10 ч 40 мин того же дня. Чему равна скорость каждой лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а скорость второй лодки в стоячей воде составляет 75 % скорости первой лодки в стоячей воде?

Обозначим через $$x$$ км/ч собственную скорость первой лодки, а через $$y$$ км/ч — собственной скорости второй лодки.

По условию скорость второй лодки составляет $$75\%$$ скорости первой, значит

$$y=0{,}75x=\frac34x.$$

Время движения первой лодки не больше $$2\text{ ч }50\text{ мин}=\frac{17}{6}\text{ ч}$$, поэтому

$$\frac{8}{x}+\frac{5}{x+2}\le \frac{17}{6}.$$

Умножим на $$6x(x+2)$$:

$$ 48(x+2)+30x\le 17x(x+2) $$
$$ 48x+96+30x\le 17x^2+34x $$
$$ 17x^2-44x-96\ge 0. $$

Корни уравнения $$17x^2-44x-96=0$$:

$$ D=44^2+4\cdot 17\cdot 96=8464, $$
$$ x_1=\frac{44-92}{34}=-\frac{24}{17},\qquad x_2=\frac{44+92}{34}=4. $$

Так как $$x>0$$, получаем $$x\ge 4$$.

Время движения второй лодки не меньше $$3\text{ ч }40\text{ мин}=\frac{11}{3}\text{ ч}$$, значит

$$\frac{8}{y}+\frac{5}{y+2}\ge \frac{11}{3}.$$

Умножим на $$3y(y+2)$$:

$$ 24(y+2)+15y\ge 11y(y+2) $$
$$ 24y+48+15y\ge 11y^2+22y $$
$$ 11y^2-17y-48\le 0. $$

Корни уравнения $$11y^2-17y-48=0$$:

$$ D=17^2+4\cdot 11\cdot 48=2401, $$
$$ y_1=\frac{17-49}{22}=-\frac{16}{11},\qquad y_2=\frac{17+49}{22}=3. $$

Так как $$y>0$$, получаем $$0<y\le 3$$.

Из соотношения $$y=\frac34x$$ и условия $$x\ge 4$$ имеем $$y\ge 3$$. Следовательно,

$$y=3,$$

тогда

$$x=\frac43y=\frac43\cdot 3=4.$$

Ответ

$$4\text{ км/ч};\ 3\text{ км/ч}.$$