Упр.14.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.23. Пристань A находится выше но течению реки, чем пристань В. От пристаней А и В одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Доплыв до пристани A, лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент времени, когда он проплыл — расстояния между пристанями А и В. Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани А до пристани В, если известно, что моторная лодка проплывает от пристани В до пристани А и обратно за 3 ч.

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ скорость течения реки, а через $$y$$ собственную скорость моторной лодки. Тогда скорость плота равна $$x$$, скорость лодки по течению — $$y+x$$, против течения — $$y-x$$.

По условию лодка прошла путь от $$B$$ до $$A$$ и обратно за $$3$$ ч, значит

$$\frac{1}{y-x}+\frac{1}{y+x}=3.$$

Лодка и плот вышли одновременно навстречу друг другу. Лодка дошла до пристани $$A$$, повернула обратно и догнала плот в тот момент, когда плот проплыл половину расстояния $$AB$$. Поэтому время движения плота до встречи равно половине времени движения лодки от $$B$$ до $$A$$, то есть

$$\frac{1}{y-x}+\frac{2}{3(y+x)}=\frac{2}{3x}.$$

Из второго уравнения выразим $$y$$ через $$x$$:

$$ \frac{1}{y-x}+\frac{2}{3(y+x)}=\frac{2}{3x} $$

$$ 3x(y+x)+2x(y-x)=2(y-x)(y+x) $$

$$ 3xy+3x^2+2xy-2x^2=2y^2-2x^2 $$

$$ 5xy+x^2=2y^2 $$

Подставим в первое уравнение и решим систему. После преобразований получаем:

$$x=\frac14,\qquad y=\frac34.$$

Тогда время, которое тратит плот на путь от $$A$$ до $$B$$, равно

$$t=\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac14}=4.$$