Упр.14.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.20. Три пловца должны проплыть дистанцию от пункта A до пункта В и обратно. Сначала стартует первый, через 5 с — второй, а ещё через 5 с — третий. Некоторую точку С, находящуюся между пунктами А и В, все пловцы на пути к пункту В прошли одновременно. Третий пловец, проплыв до пункта В и возвращаясь обратно, встретил второго за 9 м, а первого — за 15 м от пункта В. Найдите скорость третьего пловца, если дистанция АВ равна 55 м.

Подробный ответ

Обозначим:

$$v_1$$ — скорость первого пловца,
$$v_2$$ — скорость второго пловца,
$$v_3$$ — скорость третьего пловца,
$$t$$ — время, за которое первый пловец доплыл до точки $$C$$.

Тогда второй пловец достиг точки $$C$$ через $$t-5$$ с, а третий — через $$t-10$$ с. Из условия одновременного прохождения точки $$C$$ получаем:

$$v_1t=v_2(t-5)=v_3(t-10).$$

Отсюда

$$v_1=\frac{v_3(t-10)}{t}, \qquad v_2=\frac{v_3(t-10)}{t-5}.$$

Рассмотрим встречу третьего пловца с первым. К этому моменту третий проплыл весь путь $$AB$$ и вернулся на $$15$$ м от пункта $$B$$, а первый находится на расстоянии $$15$$ м от $$B$$. Поэтому:

$$\frac{55+15}{v_3}=\frac{55-15}{v_1}-10.$$

Подставим $$v_1$$:

$$\frac{70}{v_3}=\frac{40t}{v_3(t-10)}-10.$$

Умножим на $$v_3(t-10)$$:

$$70(t-10)=40t-10v_3(t-10).$$

$$70t-700=40t-10tv_3+100v_3,$$

$$3t+tv_3=70+10v_3,$$

$$t=\frac{70+10v_3}{3+v_3}.$$

Теперь используем встречу третьего пловца со вторым. Аналогично:

$$\frac{55+9}{v_3}=\frac{55-9}{v_2}-5.$$

Подставим $$v_2$$:

$$\frac{64}{v_3}=\frac{46(t-5)}{v_3(t-10)}-5.$$