Упр.14.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Два спортсмена выбегают одновременно: первый из пункта А в пункт В, второй из пункта В в пункт А. Они бегут с разными скоростями и встречаются на расстоянии $$300\ \text{м}$$ от пункта А. Пробежав дорожку $$AB$$ до конца, каждый из них сразу поворачивает обратно и встречает другого на расстоянии $$400\ \text{м}$$ от пункта В. Найдите длину дорожки $$AB$$.

Обозначим:

$$v_1$$ — скорость первого спортсмена, $$v_2$$ — скорость второго спортсмена, $$S$$ — длина дорожки $$AB$$.

По условию первой встречи первый спортсмен пробежал $$300$$ м, а второй — $$S-300$$ м. Значит, их времена движения до встречи равны:

$$\frac{300}{v_1}=\frac{S-300}{v_2}.$$

Отсюда

$$\frac{v_2}{v_1}=\frac{S-300}{300}.$$

После того как каждый добежал до конца дорожки и повернул обратно, они встретились во второй раз на расстоянии $$400$$ м от пункта $$B$$. Тогда первый спортсмен пробежал $$S+400$$ м, а второй — $$2S-400$$ м. Получаем:

$$\frac{S+400}{v_1}=\frac{2S-400}{v_2}.$$

Следовательно,

$$\frac{v_2}{v_1}=\frac{2S-400}{S+400}.$$

Приравняем выражения для $$\frac{v_2}{v_1}$$:

$$\frac{S-300}{300}=\frac{2S-400}{S+400}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$(S-300)(S+400)=300(2S-400)$$

$$S^2+400S-300S-120000=600S-120000$$

$$S^2-500S=0$$

$$S(S-500)=0$$

Так как длина дорожки не может быть равна нулю, получаем:

$$S=500.$$

Ответ

$$500\text{ м}$$