Упр.14.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Из пунктов А и В (рис. 14.1), расстояние между которыми равно $$13\ \text{км}$$, одновременно вышли в указанных направлениях два туриста. Скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна $$4\ \text{км/ч}$$, а туриста, вышедшего из пункта В, — $$6\ \text{км/ч}$$. Через какое время после начала движения расстояние между туристами будет наименьшим?

Пусть $$t$$ ч — время, прошедшее с начала движения.

Тогда расстояние между туристами равно

$$S=\sqrt{(4t)^2+(13-6t)^2}.$$

Возведём подкоренное выражение в квадрат:

$$S=\sqrt{16t^2+169-156t+36t^2}=\sqrt{52t^2-156t+169}.$$

Чтобы расстояние $$S$$ было наименьшим, достаточно найти минимум выражения под корнем:

$$52t^2-156t+169.$$

Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, так как $$52>0$$. Минимум достигается в вершине:

$$t_0=\frac{-b}{2a}=\frac{156}{2\cdot 52}=\frac{156}{104}=\frac{3}{2}.$$

Значит, наименьшим расстояние между туристами будет через $$1{,}5$$ часа после начала движения.

Ответ

Через $$1{,}5$$ часа.