Упр.14.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 14.12. Есть два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение масс золота и меди равно 1 : 2, а во втором — 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в полученном слитке окажется столько килограммов золота, сколько было килограммов меди в первом слитке, а если сплавить 2/3 первого слитка и половину второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было килограммов золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Обозначим через $$x$$ массу первого слитка, а через $$y$$ массу второго слитка.

Тогда в первом слитке золота $$\frac{1}{3}x$$, меди $$\frac{2}{3}x$$; во втором слитке золота $$\frac{2}{5}y$$, меди $$\frac{3}{5}y$$.

Составим уравнения по условию.

1) Если сплавить $$\frac{1}{3}$$ первого слитка и $$\frac{5}{6}$$ второго, то золота получится столько же, сколько меди было в первом слитке:

$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}y=\frac{2}{3}x$$

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}y=\frac{2}{3}x$$

Умножим на $$9$$:

$$x+3y=6x$$

$$3y=5x$$

$$y=\frac{5x}{3}$$

2) Если сплавить $$\frac{2}{3}$$ первого слитка и половину второго, то меди получится на $$1$$ кг больше, чем золота во втором слитке:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}y=\frac{2}{5}y+1$$

$$\frac{4}{9}x+\frac{3}{10}y=\frac{2}{5}y+1$$

Подставим $$y=\frac{5x}{3}$$:

$$\frac{4}{9}x+\frac{3}{10}\cdot\frac{5x}{3}=\frac{2}{5}\cdot\frac{5x}{3}+1$$

$$\frac{4}{9}x+\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}x+1$$

Умножим на $$18$$:

$$8x+9x=12x+18$$

$$5x=18$$

$$x=\frac{18}{5}$$

Тогда

$$y=\frac{5}{3}\cdot\frac{18}{5}=6$$

Найдём массу золота в каждом слитке:

в первом слитке

$$\frac{1}{3}\cdot\frac{18}{5}=\frac{6}{5}=1{,}2\text{ кг}$$

во втором слитке

$$\frac{2}{5}\cdot 6=\frac{12}{5}=2{,}4\text{ кг}$$

Ответ

$$1{,}2\text{ кг};\ 2{,}4\text{ кг}.$$