Упр.14.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

От станции $$M$$ в направлении станции $$N$$, расстояние между которыми равно $$450\ \text{км}$$, отправился скорый поезд. Через $$3\ \text{ч}$$ после этого от станции $$N$$ в направлении станции $$M$$ отправился товарный поезд, который встретился со скорым через $$3\ \text{ч}$$ после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями $$M$$ и $$N$$ на $$7\ \text{ч}\ 30\ \text{мин}$$ быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда.

Подробный ответ

Обозначим скорость скорого поезда через $$x$$ км/ч, а скорость товарного — через $$y$$ км/ч.

По условию до встречи скорый поезд ехал $$3+3=6$$ ч, а товарный — $$3$$ ч. Тогда получаем уравнение по расстоянию:

$$6x+3y=450.$$

Разделим обе части на $$3$$:

$$2x+y=150,$$

откуда

$$y=150-2x.$$

Теперь используем условие о времени прохождения всего пути. Скорый поезд проходит $$450$$ км на $$7$$ ч $$30$$ мин быстрее товарного, то есть на $$\frac{15}{2}$$ ч быстрее:

$$\frac{450}{y}-\frac{450}{x}=\frac{15}{2}.$$

Подставим $$y=150-2x$$:

$$\frac{450}{150-2x}-\frac{450}{x}=\frac{15}{2}.$$

Умножим на $$2x(150-2x)$$:

$$900x-900(150-2x)=15x(150-2x).$$

После упрощения получаем:

$$x^2+15x-450=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=15^2+4\cdot 450=18225,$$

$$\sqrt{D}=135.$$

Тогда

$$x=\frac{-15+135}{2}=60,$$