Упр.13.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) {(2x^2-5xy-3y^2=0, x^2-2xy-y^2=2);
2) {(2x^2-5xy+2y^2=0, x^2+y^2=5).
1) Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $$x$$:
$$2x^2-5xy-3y^2=0.$$
Тогда
$$D=(5y)^2-4\cdot 2\cdot(-3y^2)=25y^2+24y^2=49y^2.$$
Следовательно,
$$x_{1,2}=\frac{5y\pm 7y}{4},$$
откуда
$$x_1=-\frac{y}{2}, \qquad x_2=3y.$$
Подставим эти значения во второе уравнение.
1) Если $$x=-\frac{y}{2},$$ то
$$\left(-\frac{y}{2}\right)^2-2\left(-\frac{y}{2}\right)y-y^2=2,$$
$$\frac{y^2}{4}+y^2-y^2=2,$$
$$\frac{y^2}{4}=2,$$
$$y^2=8,$$
$$y=\pm 2\sqrt{2}.$$
Тогда
$$x=-\frac{y}{2}=\mp \sqrt{2}.$$
Получаем пары:
$$(-\sqrt{2};\,2\sqrt{2}), \qquad (\sqrt{2};\,-2\sqrt{2}).$$
2) Если $$x=3y,$$ то
$$ (3y)^2-2\cdot 3y\cdot y-y^2=2,$$
$$9y^2-6y^2-y^2=2,$$
$$2y^2=2,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1.$$
Тогда
$$x=3y=\pm 3.$$
Получаем пары:
$$(-3;\,-1), \qquad (3;\,1).$$
2) Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $$x$$:
$$2x^2-5xy+2y^2=0.$$
Тогда
$$D=(5y)^2-4\cdot 2\cdot 2y^2=25y^2-16y^2=9y^2,$$
и
$$x_{1,2}=\frac{5y\pm 3y}{4},$$
откуда
$$x_1=\frac{y}{2}, \qquad x_2=2y.$$
Подставим в уравнение $$x^2+y^2=5.$$
1) Если $$x=\frac{y}{2},$$ то
$$\left(\frac{y}{2}\right)^2+y^2=5,$$
$$\frac{y^2}{4}+y^2=5,$$
$$\frac{5y^2}{4}=5,$$
$$y^2=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Тогда
$$x=\frac{y}{2}=\pm 1.$$
Получаем пары:
$$(-1;\,-2), \qquad (1;\,2).$$
2) Если $$x=2y,$$ то
$$ (2y)^2+y^2=5,$$
$$4y^2+y^2=5,$$
$$5y^2=5,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1.$$
Тогда
$$x=2y=\pm 2.$$
Получаем пары:
$$(-2;\,-1), \qquad (2;\,1).$$
Ответ
1) $$(-\sqrt{2};\,2\sqrt{2}),\ (\sqrt{2};\,-2\sqrt{2}),\ (-3;\,-1),\ (3;\,1).$$
2) $$(-1;\,-2),\ (1;\,2),\ (-2;\,-1),\ (2;\,1).$$
