Упр.13.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(v(x+y)+v(2x+y+3)=7, 3x+2y=22);
2) {((x^2+y^2)/(xy)=5/2, x^2-y^2=3).

Подробный ответ

Пусть $$a=\sqrt{x+y}$$ и $$b=\sqrt{2x+y+3}$$. Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} a+b=7,\\ a^2+b^2=22. \end{cases} $$
Из формулы $$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$$ получаем
$$ 49=22+2ab,\qquad 2ab=27,\qquad ab=\frac{27}{2}. $$
Тогда числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2-7t+\frac{27}{2}=0. $$
Но удобнее воспользоваться тем, что
$$ a^2+b^2=22,\quad a+b=7 \Rightarrow a^2+(7-a)^2=22. $$
Тогда
$$ a^2+49-14a+a^2=22, $$
$$ 2a^2-14a+27=0. $$
Решая это уравнение, получаем
$$ D=14^2-4\cdot 2\cdot 27=196-216=-20. $$
Значит, в таком виде решение не получается, поэтому используем исходную систему из изображения:
$$ \begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{2x+y+3}=7,\\ 3x+2y=22. \end{cases} $$
Положим $$a=\sqrt{x+y}$$, $$b=\sqrt{2x+y+3}$$. Тогда
$$ \begin{cases} a+b=7,\\ a^2+b^2-3=22. \end{cases} $$
Отсюда
$$ a^2+(7-a)^2-3=22, $$
$$ 2a^2-14a+24=0, $$
$$ a^2-7a+12=0, $$
$$ (a-3)(a-4)=0. $$
Следовательно, $$a=3$$ или $$a=4$$.
1) Если $$a=3$$, то $$b=4$$. Тогда
$$ \begin{cases} \sqrt{x+y}=3,\\ \sqrt{2x+y+3}=4. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x+y=9,\\ 2x+y+3=16. \end{cases} $$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем $$x=4$$, тогда $$y=5$$.
2) Если $$a=4$$, то $$b=3$$. Тогда
$$ \begin{cases} x+y=16,\\ 2x+y+3=9. \end{cases} $$
Отсюда $$x=-10$$, $$y=26$$.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{5}{2},\\ x^2-y^2=3. \end{cases} $$
Первое уравнение преобразуем:
$$ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2}. $$
Пусть $$a=\frac{x}{y}$$, тогда
$$ a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}. $$
Умножим на $$2a$$:
$$ 2a^2-5a+2=0. $$
$$ D=25-16=9, $$
$$ a_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad a_2=\frac{5+3}{4}=2. $$
Значит, либо $$x=\frac{y}{2}$$, либо $$x=2y$$.
1) Если $$x=\frac{y}{2}$$, то
$$ \left(\frac{y}{2}\right)^2-y^2=3, $$
$$ \frac{y^2}{4}-y^2=3, $$
$$ -\frac{3y^2}{4}=3, $$
$$ y^2=-4, $$
что невозможно.
2) Если $$x=2y$$, то
$$ (2y)^2-y^2=3, $$
$$ 4y^2-y^2=3, $$
$$ 3y^2=3, $$
$$ y^2=1, $$
$$ y=\pm 1. $$
Тогда $$x=2y$$, значит:
при $$y=1$$ получаем $$x=2$$;
при $$y=-1$$ получаем $$x=-2$$.