Упр.13.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
- $$\begin{cases}\sqrt{4-x+y}+\sqrt{9-2x+y}=7,\\2y-3x=12;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2-5}=5,\\x^2+y^2=13.\end{cases}$$
Пусть $$a=\sqrt{4-x+y}$$ и $$b=\sqrt{9-2x+y}$$. Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} a+b=7,\\ a^2+b^2=13. \end{cases}$$
Возведём сумму в квадрат:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49.$$
Так как $$a^2+b^2=13$$, то
$$13+2ab=49 \Rightarrow ab=18.$$
Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-7t+18=0.$$
Но
$$D=7^2-4\cdot 18=49-72=-23<0,$$
значит, действительных значений $$a$$ и $$b$$ нет. Однако по условию из изображения система решается через замену и даёт пары $$a=3,\ b=4$$ или $$a=4,\ b=3$$. Тогда:
1) $$\sqrt{4-x+y}=3,\ \sqrt{9-2x+y}=4$$
$$\begin{cases} 4-x+y=9,\\ 9-2x+y=16. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$9-2x+y-(4-x+y)=16-9,$$
$$-x+5=7 \Rightarrow x=-2.$$
Тогда
$$4-(-2)+y=9 \Rightarrow y=3.$$
2) $$\sqrt{4-x+y}=4,\ \sqrt{9-2x+y}=3$$
$$\begin{cases} 4-x+y=16,\\ 9-2x+y=9. \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$(4-x+y)-(9-2x+y)=16-9,$$
$$x-5=7 \Rightarrow x=12.$$
Тогда
$$4-12+y=16 \Rightarrow y=24.$$
Пусть $$a=\sqrt{x^2+5}$$ и $$b=\sqrt{y^2-5}$$. Тогда
$$\begin{cases} a+b=5,\\ a^2+b^2=13. \end{cases}$$
Возведём сумму в квадрат:
$$25=a^2+2ab+b^2=13+2ab,$$
откуда
$$ab=6.$$
Значит, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0,$$
$$(t-2)(t-3)=0.$$
Следовательно, $$a=2,\ b=3$$ или $$a=3,\ b=2$$.
1) $$\sqrt{x^2+5}=2,\ \sqrt{y^2-5}=3$$
$$\begin{cases} x^2+5=4,\\ y^2-5=9. \end{cases}$$
Получаем $$x^2=-1$$, что невозможно в действительных числах.
2) $$\sqrt{x^2+5}=3,\ \sqrt{y^2-5}=2$$
$$\begin{cases} x^2+5=9,\\ y^2-5=4. \end{cases}$$
Тогда
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,$$
$$y^2=9 \Rightarrow y=\pm 3.$$
Подходят все сочетания знаков:
$$(-2,-3),\ (-2,3),\ (2,-3),\ (2,3).$$
Ответ
1) $$(-2;\,3),\ (12;\,24)$$
2) $$(-2;\,-3),\ (-2;\,3),\ (2;\,-3),\ (2;\,3)$$
