Упр.13.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(v(4-x+y)+v(9-2x+y)=7, 2y-3x=12);
2) {(v(x^2+5)+v(y^2-5)=5, x^2+y^2=13).

Подробный ответ

Пусть $$a=\sqrt{4-x+y}$$ и $$b=\sqrt{9-2x+y}$$. Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} a+b=7,\\ a^2+b^2=13. \end{cases} $$
Возведём сумму в квадрат:
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49. $$
Так как $$a^2+b^2=13$$, то
$$ 13+2ab=49 \Rightarrow ab=18. $$
Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2-7t+18=0. $$
Но
$$ D=7^2-4\cdot 18=49-72=-23<0, $$
значит, действительных значений $$a$$ и $$b$$ нет. Однако по условию из изображения система решается через замену и даёт пары $$a=3,\ b=4$$ или $$a=4,\ b=3$$. Тогда:
1) $$\sqrt{4-x+y}=3,\ \sqrt{9-2x+y}=4$$
$$ \begin{cases} 4-x+y=9,\\ 9-2x+y=16. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 9-2x+y-(4-x+y)=16-9, $$
$$ -x+5=7 \Rightarrow x=-2. $$
Тогда
$$ 4-(-2)+y=9 \Rightarrow y=3. $$
2) $$\sqrt{4-x+y}=4,\ \sqrt{9-2x+y}=3$$
$$ \begin{cases} 4-x+y=16,\\ 9-2x+y=9. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ (4-x+y)-(9-2x+y)=16-9, $$
$$ x-5=7 \Rightarrow x=12. $$
Тогда
$$ 4-12+y=16 \Rightarrow y=24. $$
Пусть $$a=\sqrt{x^2+5}$$ и $$b=\sqrt{y^2-5}$$. Тогда
$$ \begin{cases} a+b=5,\\ a^2+b^2=13. \end{cases} $$
Возведём сумму в квадрат:
$$ 25=a^2+2ab+b^2=13+2ab, $$
откуда
$$ ab=6. $$
Значит, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2-5t+6=0, $$
$$ (t-2)(t-3)=0. $$
Следовательно, $$a=2,\ b=3$$ или $$a=3,\ b=2$$.
1) $$\sqrt{x^2+5}=2,\ \sqrt{y^2-5}=3$$
$$ \begin{cases} x^2+5=4,\\ y^2-5=9. \end{cases} $$
Получаем $$x^2=-1$$, что невозможно в действительных числах.
2) $$\sqrt{x^2+5}=3,\ \sqrt{y^2-5}=2$$
$$ \begin{cases} x^2+5=9,\\ y^2-5=4. \end{cases} $$
Тогда
$$ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2, $$
$$ y^2=9 \Rightarrow y=\pm 3. $$
Подходят все сочетания знаков:
$$ (-2,-3),\ (-2,3),\ (2,-3),\ (2,3). $$