Упр.13.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

{(x^2+v(3x^2-2y+3)=(2/3)y+5, 3y-2x=5).

Из второго уравнения выразим y:

$$3y-2x=5$$

$$3y=2x+5$$

$$y=\frac{2x+5}{3}$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2+\sqrt{3x^2-2\cdot \frac{2x+5}{3}+3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2x+5}{3}+5$$

Упростим:

$$x^2+\sqrt{3x^2-\frac{4x+10}{3}+3}=\frac{4x+10}{9}+5$$

$$x^2+\sqrt{3x^2-\frac{4x+10}{3}+3}=\frac{4x+55}{9}$$

Перенесём и преобразуем уравнение к виду с корнем:

$$\sqrt{3x^2-\frac{4x+10}{3}+3}=\frac{4x+55}{9}-x^2$$

В данном решении удобнее воспользоваться заменой:

$$t=\sqrt{3x^2-2y+3}$$

Тогда из первого уравнения получаем:

$$x^2+t=\frac{2}{3}y+5$$

а с учётом второго уравнения после преобразований получаем квадратное уравнение для t:

$$t^2+3t-18=0$$

$$D=3^2+4\cdot 18=81$$

$$t_1=\frac{-3-9}{2}=-6,\qquad t_2=\frac{-3+9}{2}=3$$

Так как $$t=\sqrt{3x^2-2y+3}\ge 0,$$ то подходит только $$t=3.$$

Тогда

$$\sqrt{3x^2-2y+3}=3$$

$$3x^2-2y+3=9$$

$$3x^2-2y=6$$

Подставим $$y=\frac{2x+5}{3}$$:

$$3x^2-2\cdot \frac{2x+5}{3}=6$$

$$9x^2-4x-10=18$$

$$9x^2-4x-28=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 9\cdot (-28)=16+1008=1024$$

$$x_1=\frac{4-32}{18}=-\frac{14}{9},\qquad x_2=\frac{4+32}{18}=2$$

Найдём соответствующие значения y:

$$y_1=\frac{2\cdot \left(-\frac{14}{9}\right)+5}{3}=\frac{-\frac{28}{9}+\frac{45}{9}}{3}=\frac{17}{27}$$

$$y_2=\frac{2\cdot 2+5}{3}=3$$

Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют системе.

Ответ

$$\left(-\frac{14}{9};\frac{17}{27}\right),\ (2;3)$$