Упр.13.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(9x^2+v(9x^2+2y+1)=1-2y, 6x+y=2);
2) {(x^2+2y+v(x^2+2y+1)=1, 2x+y=2).

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$\begin{cases} 9x^2+\sqrt{9x^2+2y+1}=1-2y,\\ 6x+y=2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2-6x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$9x^2+\sqrt{9x^2+2(2-6x)+1}=1-2(2-6x),$$
$$9x^2+\sqrt{9x^2-12x+5}=4x-3.$$
Перенесём всё в одну сторону и введём замену:
$$\sqrt{9x^2-12x+5}=4x-3-9x^2.$$
Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а правая часть равна корню, решаем после подстановки и проверки. Удобнее заметить, что при замене $$t=\sqrt{9x^2+2y+1}$$ получаем:
$$t^2+t-2=0,$$
$$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0.$$
Так как $$t\ge 0$$, то $$t=1$$.
Тогда:
$$\sqrt{9x^2+2(2-6x)+1}=1,$$
$$9x^2-12x+5=1,$$
$$9x^2-12x+4=0,$$
$$(3x-2)^2=0,$$
$$x=\frac23.$$
Найдём $$y$$:
$$y=2-6\cdot\frac23=-2.$$
Решим вторую систему:
$$\begin{cases} x^2+2y+\sqrt{x^2+2y+1}=1,\\ 2x+y=2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2-2x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+2(2-2x)+\sqrt{x^2+2(2-2x)+1}=1,$$
$$x^2-4x+4+\sqrt{x^2-4x+5}=1.$$
Введём замену:
$$t=\sqrt{x^2+2y+1}.$$
Тогда:
$$t^2+t-2=0,$$
$$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0.$$
С учётом условия $$t\ge 0$$ получаем $$t=1$$.
Следовательно:
$$\sqrt{x^2+2(2-2x)+1}=1,$$
$$x^2-4x+5=1,$$
$$x^2-4x+4=0,$$
$$(x-2)^2=0,$$
$$x=2.$$
Тогда:
$$y=2-2\cdot2=-2.$$