Упр.13.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2 y-xy^2=6, xy+x-y=-5);
2) {(xy-x/y=16/3, xy-y/x=9/2);
3) {(v((x+1)/(x+y))+v((x+y)/(x+1))=2, v((x+1)/(y+2))-v((y+2)/(x+1))=3/2);
4) {(x+y+x^2/y^2=7, ((x+y)x^2)/y^2=12).

1. Обозначим $$a=x-y$$, $$b=xy$$. Тогда система
   $$\begin{cases} x^2y-xy^2=6,\\ xy+x-y=-5 \end{cases}$$
   принимает вид
   $$\begin{cases} ab=6,\\ a+b=-5. \end{cases}$$
   Из уравнения $$b=-5-a$$, поэтому
   $$a(-5-a)=6,$$
   $$a^2+5a+6=0,$$
   $$\left(a+2\right)\left(a+3\right)=0.$$
   Значит, $$a=-2$$ или $$a=-3$$.

   1) Если $$a=-3$$, то $$b=-2$$. Получаем
   $$\begin{cases} x-y=-3,\\ xy=-2. \end{cases}$$
   Тогда $$y(y-3)=-2$$, то есть
   $$y^2-3y+2=0,$$
   откуда $$y=1$$ или $$y=2$$. Соответственно,
   $$x=-2$$ или $$x=-1$$.

   2) Если $$a=-2$$, то $$b=-3$$. Получаем
   $$\begin{cases} x-y=-2,\\ xy=-3. \end{cases}$$
   Тогда $$y(y-2)=-3,$$
   $$y^2-2y+3=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=4-12=-8<0,$$ значит, действительных решений нет.

2. Обозначим $$a=xy$$, $$b=\dfrac{x}{y}$$. Тогда
   $$\begin{cases} a-b=\dfrac{16}{3},\\ a-\dfrac{1}{b}=\dfrac{9}{2}. \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$a=\dfrac{16}{3}+b$$. Подставим во второе:
   $$\dfrac{16}{3}+b-\dfrac{1}{b}=\dfrac{9}{2}.$$
   Умножим на $$6b$$:
   $$32b+6b^2-6=27b,$$
   $$6b^2+5b-6=0.$$
   Тогда
   $$D=5^2-4\cdot 6\cdot(-6)=25+144=169,$$
   $$b_1=\dfrac{-5-13}{12}=-\dfrac{3}{2},\qquad b_2=\dfrac{-5+13}{12}=\dfrac{2}{3}.$$
   Найдём $$a$$:
   $$a_1=\dfrac{16}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{6},\qquad a_2=\dfrac{16}{3}+\dfrac{2}{3}=6.$$

   1) Если $$xy=6$$ и $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$$, то
   $$x=\dfrac{2}{3}y,$$
   $$\dfrac{2}{3}y^2=6,$$
   $$y^2=9,$$
   $$y=\pm 3,$$
   тогда $$x=\pm 2$$.

   2) Если $$xy=\dfrac{23}{6}$$ и $$\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{2}$$, то
   $$x^2=\left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdot \dfrac{23}{6}=-\dfrac{23}{4},$$
   что невозможно в действительных числах.

3. Обозначим
   $$a=\sqrt{\dfrac{x+1}{x+y}},\qquad b=\sqrt{\dfrac{x+1}{y+2}}.$$
   Тогда система равносильна
   $$\begin{cases} a+\dfrac{1}{a}=2,\\ b-\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$a^2-2a+1=0,$$
   $$\left(a-1\right)^2=0,$$
   значит, $$a=1$$.
   Из второго:
   $$2b^2-3b-2=0,$$
   $$D=9+16=25,$$
   $$b_1=-\dfrac{1}{2},\qquad b_2=2.$$
   Так как $$b>0$$, получаем $$b=2$$.

   Тогда
   $$\sqrt{\dfrac{x+1}{x+y}}=1 \Rightarrow x+1=x+y,$$
   откуда $$y=1$$.
   Далее
   $$\sqrt{\dfrac{x+1}{y+2}}=2 \Rightarrow x+1=4(y+2).$$
   Подставим $$y=1$$:
   $$x+1=12,$$
   $$x=11.$$

4. Обозначим $$a=x+y$$, $$b=\dfrac{x^2}{y^2}$$. Тогда
   $$\begin{cases} a+b=7,\\ ab=12. \end{cases}$$
   Следовательно,
   $$a(7-a)=12,$$
   $$a^2-7a+12=0,$$
   $$\left(a-3\right)\left(a-4\right)=0.$$
   Значит, $$a=3$$ или $$a=4$$.

   1) Если $$x+y=3$$ и $$\dfrac{x^2}{y^2}=4$$, то
   $$\left(\dfrac{x}{y}\right)^2=4,$$
   $$\dfrac{x}{y}=\pm 2.$$
   При $$\dfrac{x}{y}=2$$ получаем $$x=2y$$, значит $$3y=3$$, откуда $$y=1$$, $$x=2$$.
   При $$\dfrac{x}{y}=-2$$ получаем $$x=-2y$$, значит $$-y=3$$, откуда $$y=-3$$, $$x=6$$.

   2) Если $$x+y=4$$ и $$\dfrac{x^2}{y^2}=3$$, то
   $$\left(\dfrac{x}{y}\right)^2=3,$$
   $$\dfrac{x}{y}=\pm \sqrt{3}.$$
   Тогда
   $$x=\dfrac{4\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=6+2\sqrt{3},\qquad y=4-x=-2-2\sqrt{3},$$
   или
   $$x=6-2\sqrt{3},\qquad y=-2+2\sqrt{3}.$$

Ответ

1) $$(-2;1),\ (-1;2)$$;
2) $$(2;-3),\ (-2;3)$$;
3) $$(11;1)$$;
4) $$(2;1),\ (6;-3),\ (6+2\sqrt{3};-2-2\sqrt{3}),\ (6-2\sqrt{3};-2+2\sqrt{3})$$.