Упр.13.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$ делится нацело на $$10$$.

Обозначим данное выражение через $$N$$:

$$N=3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n.$$

Преобразуем его:

$$N=3^2\cdot 3^n-2^3\cdot 2^n+3^n-2^n =9\cdot 3^n-8\cdot 2^n+3^n-2^n.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$N=(9\cdot 3^n+3^n)-(8\cdot 2^n+2^n) =10\cdot 3^n-9\cdot 2^n.$$

Удобнее вынести общий множитель иначе:

$$N=3^n(9+1)-2^n(8+1)=10\cdot 3^n-9\cdot 2^n.$$

Заметим, что

$$N=10\cdot 3^n-10\cdot 2^{n-1}=10\left(3^n-2^{n-1}\right).$$

Следовательно, $$N$$ делится на $$10$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$ делится нацело на $$10$$ при любом натуральном $$n$$.