Упр.13.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 13.35. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 3^(n+2)-2^(n+2)+3^n-2^n делится нацело на 10.

Обозначим данное выражение через $$N$$:

$$N=3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n.$$

Преобразуем его:

$$ N=3^2\cdot 3^n-2^3\cdot 2^n+3^n-2^n =9\cdot 3^n-8\cdot 2^n+3^n-2^n. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ N=(9\cdot 3^n+3^n)-(8\cdot 2^n+2^n) =10\cdot 3^n-9\cdot 2^n. $$

Удобнее вынести общий множитель иначе:

$$ N=3^n(9+1)-2^n(8+1)=10\cdot 3^n-9\cdot 2^n. $$

Заметим, что

$$ N=10\cdot 3^n-10\cdot 2^{n-1}=10\left(3^n-2^{n-1}\right). $$

Следовательно, $$N$$ делится на $$10$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$ делится нацело на $$10$$ при любом натуральном $$n$$.