Упр.13.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 13.34. При каких значениях параметра a уравнение (vx-a)(3x^2+x-2)=0 имеет единственное решение?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x}-a\right)(3x^2+x-2)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{x}-a=0 \Rightarrow \sqrt{x}=a \Rightarrow x=a^2,$$ при этом обязательно $$a\ge 0.$$

2) $$3x^2+x-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-2)=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2\cdot 3}.$$

Тогда

$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{2}{3}.$$

Но из-за наличия корня $$\sqrt{x}$$ область определения уравнения: $$x\ge 0.$$ Поэтому корень $$x=-1$$ не подходит, а остаётся только $$x=\frac{2}{3}.$$

Чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы корень $$x=a^2$$ совпал с корнем $$x=\frac{2}{3}.$$ Тогда

$$a^2=\frac{2}{3},\qquad a=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Кроме того, если $$a<0,$$ то уравнение $$\sqrt{x}=a$$ решений не имеет, и остаётся единственный корень $$x=\frac{2}{3}.$$

Следовательно, уравнение имеет единственное решение при

$$a<0 \quad \text{или} \quad a=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$