Упр.13.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
- 1) $$\begin{cases} x^3+y^3=1,\\ x^4+y^4=1; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} x^3=8y+x,\\ y^3=8x+y; \end{cases}$$
3) $$\begin{cases} \frac{2x^2}{1+x^2}=y,\\ \frac{2y^2}{1+y^2}=x. \end{cases}$$
Из второго уравнения системы
$$x^4+y^4=1$$
следует, что
$$x^4\le 1,\quad y^4\le 1,$$
значит,
$$|x|\le 1,\quad |y|\le 1.$$Из первого уравнения
$$x^3+y^3=1$$
при $$|x|\le 1$$ и $$|y|\le 1$$ получаем
$$0\le x^3\le 1,\quad 0\le y^3\le 1.$$
Так как при $$0\le t\le 1$$ выполняется $$t^3\ge t^4$$, то
$$x^3+y^3\ge x^4+y^4.$$
Но по условию
$$x^3+y^3=x^4+y^4=1,$$
значит,
$$x^3=x^4,\quad y^3=y^4.$$Тогда
$$x^3(x-1)=0,\quad y^3(y-1)=0,$$
откуда
$$x=0 \text{ или } x=1,\quad y=0 \text{ или } y=1.$$
С учётом уравнения $$x^3+y^3=1$$ получаем пары
$$(x,y)=(0,1),\ (1,0).$$Из системы
$$\begin{cases} x^3=8y+x,\\ y^3=8x+y \end{cases}$$
вычтем второе уравнение из первого:
$$x^3-y^3=8(y-x).$$
Тогда
$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=-8(x-y),$$
$$(x-y)(x^2+xy+y^2+8)=0.$$
Так как
$$x^2+xy+y^2+8>0,$$
то
$$x-y=0,$$
то есть
$$x=y.$$Подставим в первое уравнение:
$$x^3=8x+x,$$
$$x^3-9x=0,$$
$$x(x^2-9)=0,$$
$$x(x-3)(x+3)=0.$$
Следовательно,
$$x=0,\ 3,\ -3.$$
Так как $$x=y$$, то
$$(x,y)=(0,0),\ (3,3),\ (-3,-3).$$Рассмотрим функцию
$$f(t)=\frac{2t^2}{1+t^2}.$$
Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} y=f(x),\\ x=f(y). \end{cases}$$
Значения функции удовлетворяют неравенству
$$0\le f(t)<2,$$ значит, решения лежат на отрезке $$[0,2).$$Функция $$f(t)=\frac{2t^2}{1+t^2}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, поэтому из
$$y=f(x),\quad x=f(y)$$
следует
$$x=y.$$Тогда
$$\frac{2x^2}{1+x^2}=x,$$
$$2x^2=x+x^3,$$
$$x^3-2x^2+x=0,$$
$$x(x^2-2x+1)=0,$$
$$x(x-1)^2=0.$$
Отсюда
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
Так как $$x=y$$, получаем
$$(x,y)=(0,0),\ (1,1).$$
Ответ
1) $$(0;1),\ (1;0);$$
2) $$(0;0),\ (-3;-3),\ (3;3);$$
3) $$(0;0),\ (1;1).$$
