Упр.13.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^3+y^3=1, x^4+y^4=1);
2) {(x^3=8y+x, y^3=8x+y);
3) {(2x^2/(1+x^2)=y, 2y^2/(1+y^2)=x).

Подробный ответ

Из второго уравнения системы
$$x^4+y^4=1$$
следует, что
$$x^4\le 1,\quad y^4\le 1,$$
значит,
$$|x|\le 1,\quad |y|\le 1.$$
Из первого уравнения
$$x^3+y^3=1$$
при $|x|\le 1$ и $|y|\le 1$ получаем
$$0\le x^3\le 1,\quad 0\le y^3\le 1.$$
Так как при $0\le t\le 1$ выполняется $t^3\ge t^4$, то
$$x^3+y^3\ge x^4+y^4.$$
Но по условию
$$x^3+y^3=x^4+y^4=1,$$
значит,
$$x^3=x^4,\quad y^3=y^4.$$
Тогда
$$x^3(x-1)=0,\quad y^3(y-1)=0,$$
откуда
$$x=0 \text{ или } x=1,\quad y=0 \text{ или } y=1.$$
С учётом уравнения $$x^3+y^3=1$$ получаем пары
$$(x,y)=(0,1),\ (1,0).$$
Из системы
$$\begin{cases} x^3=8y+x,\\ y^3=8x+y \end{cases}$$
вычтем второе уравнение из первого:
$$x^3-y^3=8(y-x).$$
Тогда
$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=-8(x-y),$$
$$ (x-y)(x^2+xy+y^2+8)=0.$$
Так как
$$x^2+xy+y^2+8>0,$$
то
$$x-y=0,$$
то есть
$$x=y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^3=8x+x,$$
$$x^3-9x=0,$$
$$x(x^2-9)=0,$$
$$x(x-3)(x+3)=0.$$
Следовательно,
$$x=0,\ 3,\ -3.$$
Так как $x=y$, то
$$(x,y)=(0,0),\ (3,3),\ (-3,-3).$$
Рассмотрим функцию
$$f(t)=\frac{2t^2}{1+t^2}.$$
Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} y=f(x),\\ x=f(y). \end{cases}$$
Значения функции удовлетворяют неравенству
$$0\le f(t)<2,$$ значит, решения лежат на отрезке $$[0,2).$$
Функция $$f(t)=\frac{2t^2}{1+t^2}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, поэтому из
$$y=f(x),\quad x=f(y)$$
следует
$$x=y.$$
Тогда
$$\frac{2x^2}{1+x^2}=x,$$
$$2x^2=x+x^3,$$
$$x^3-2x^2+x=0,$$
$$x(x^2-2x+1)=0,$$
$$x(x-1)^2=0.$$
Отсюда
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
Так как $x=y$, получаем
$$(x,y)=(0,0),\ (1,1).$$