Упр.13.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2+y^2=1, x^5+y^5=1);
2) {(y^3-y^2+y=x^2, x^3-x^2+x=y^2);
3) {(2x/(1+x^2)=y, 2y/(1+y^2)=x).

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x^5+y^5=1. \end{cases}$$

   Из первого уравнения имеем $$x^2\le 1,\ y^2\le 1,$$ значит $$|x|\le 1,\ |y|\le 1.$$
   Тогда при $$|x|\le 1$$ и $$|y|\le 1$$ выполняется
   $$x^5\le x^2,\qquad y^5\le y^2.$$
   Следовательно,
   $$x^5+y^5\le x^2+y^2.$$
   Но по условию $$x^5+y^5=x^2+y^2=1,$$ значит равенство достигается, когда
   $$x^5=x^2,\qquad y^5=y^2.$$

   Отсюда
   $$x^2(x^3-1)=0,\qquad y^2(y^3-1)=0.$$
   С учётом $$|x|\le 1,\ |y|\le 1$$ получаем
   $$x\in\{0,1\},\qquad y\in\{0,1\}.$$
   Подставляя в $$x^2+y^2=1,$$ находим пары:
   $$ (x,y)=(0,1),\ (1,0).$$

2. $$\begin{cases} y^3-y^2+y=x^2,\\ x^3-x^2+x=y^2. \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$y^3-y^2+y-x^3+x^2-x=x^2-y^2,$$
   откуда
   $$y^3+y=x^3+x.$$
   Рассмотрим функцию $$f(t)=t^3+t.$$ Она строго возрастает на всей числовой прямой, значит из равенства
   $$f(y)=f(x)$$
   следует
   $$y=x.$$

   Подставим $$y=x$$ в первое уравнение:
   $$x^3-x^2+x=x^2,$$
   $$x^3-2x^2+x=0,$$
   $$x(x^2-2x+1)=0,$$
   $$x(x-1)^2=0.$$
   Тогда
   $$x=0 \text{ или } x=1.$$
   Так как $$y=x,$$ получаем решения:
   $$ (0,0),\ (1,1).$$

3. $$\begin{cases} \dfrac{2x}{1+x^2}=y,\\[4pt] \dfrac{2y}{1+y^2}=x. \end{cases}$$

   Функция
   $$f(t)=\dfrac{2t}{1+t^2}$$
   принимает значения только на отрезке $$[-1,1].$$ Поэтому решения системы лежат на этом отрезке.

   Из первого уравнения имеем $$y=f(x),$$ а из второго — $$x=f(y).$$ Тогда
   $$x=f(f(x)).$$
   Проверим, при каких $$x$$ выполняется
   $$f(x)=x.$$
   Получаем:
   $$\dfrac{2x}{1+x^2}=x,$$
   $$2x=x+x^3,$$
   $$x^3=x,$$
   $$x(x^2-1)=0.$$
   Отсюда
   $$x=-1,\ 0,\ 1.$$
   Так как $$y=f(x),$$ то
   $$y=-1,\ 0,\ 1$$ соответственно.

   Проверка даёт пары:
   $$(-1,-1),\ (0,0),\ (1,1).$$

Ответ

1) $$ (0,1),\ (1,0) $$;
2) $$ (0,0),\ (1,1) $$;
3) $$ (-1,-1),\ (0,0),\ (1,1) $$