Упр.13.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система уравнений
$$\begin{cases} a(x^4+1)=y+1-|x|,\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$
имеет единственное решение.

Подробный ответ

Из второго уравнения системы имеем окружность $$x^2+y^2=1.$$

Первое уравнение зависит от $$|x|$$, поэтому если точка $$\left(x_0;y_0\right)$$ является решением системы, то точка $$\left(-x_0;y_0\right)$$ тоже является решением. Значит, единственное решение возможно только при $$x=0.$$

Подставим $$x=0$$ в систему:

$$\begin{cases} a(0^4+1)=y+1-|0|,\\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a=y+1,\\ y^2=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=a-1,\\ y=\pm 1 \end{cases}$$

Чтобы решение было единственным, нужно, чтобы при $$x=0$$ получилось ровно одно значение $$y$$. Это возможно, если $$a-1=1$$ или $$a-1=-1$$, то есть $$a=2$$ или $$a=0.$$

Проверим оба случая.

1) $$a=0$$. Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} y=|x|-1,\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$

Подставим $$y=|x|-1$$ во второе уравнение:

$$x^2+(|x|-1)^2=1$$

$$x^2+x^2-2|x|+1=1$$

$$2x^2-2|x|=0$$

$$2|x|(|x|-1)=0$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=\pm 1.$$ Значит, решений больше одного, поэтому $$a=0$$ не подходит.

2) $$a=2$$. Тогда

$$\begin{cases} 2(x^4+1)=y+1-|x|,\\ x^2+y^2=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=2x^4+|x|+1,\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$

Так как $$x^2+y^2=1,$$ то $$|y|\le 1.$$ Но из первого уравнения $$y\ge 1.$$ Следовательно, $$y=1.$$ Тогда