Упр.13.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 13.30. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений {(3y-av(x^2+1)=1, y+x+1/(x+v(x^2+1))=a^2) имеет единственное решение.

Преобразуем второе уравнение:

$$ y+x+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=a^2 $$
$$ y+x+\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{(x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})}=a^2 $$
$$ y+x+\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-(x^2+1)}=a^2 $$
$$ y+x-x+\sqrt{x^2+1}=a^2 $$
$$ y+\sqrt{x^2+1}=a^2. $$

Тогда система равносильна системе

$$ \begin{cases} 3y-a\sqrt{x^2+1}=1,\\ y+\sqrt{x^2+1}=a^2. \end{cases} $$

Обозначим $$t=\sqrt{x^2+1}$$, тогда $$t\ge 1$$ и получаем

$$ \begin{cases} 3y-at=1,\\ y+t=a^2. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$y=a^2-t$$. Подставим в первое:

$$ 3(a^2-t)-at=1 $$
$$ 3a^2-(a+3)t=1 $$
$$ (a+3)t=3a^2-1. $$

Если $$a=-3$$, то получаем $$0\cdot t=26$$, что невозможно. Значит, $$a\ne -3$$, и

$$ t=\frac{3a^2-1}{a+3}. $$

Так как $$t=\sqrt{x^2+1}\ge 1$$, то

$$ \frac{3a^2-1}{a+3}\ge 1. $$

Кроме того, система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение

$$ x^2=t^2-1 $$

имеет единственный корень, то есть $$t=1$$. Тогда

$$ \sqrt{x^2+1}=1 \Rightarrow x=0. $$

Подставим $$t=1$$ в уравнение $$3a^2-(a+3)t=1$$:

$$ 3a^2-(a+3)=1 $$
$$ 3a^2-a-4=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49, $$
$$ a=\frac{1\pm 7}{6}. $$

Получаем:

$$ a_1=-1,\qquad a_2=\frac{4}{3}. $$

Проверим:

при $$a=-1$$ имеем $$t=1$$, значит $$x=0$$ и $$y=0$$;

при $$a=\frac{4}{3}$$ также $$t=1$$, значит $$x=0$$ и $$y=\frac{7}{9}$$.

В обоих случаях решение единственно.

Ответ

$$ a=-1 \text{ или } a=\frac{4}{3}. $$