Упр.13.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система уравнений $$\begin{cases}3y-a\sqrt{x^2+1}=1,\\ y+x+\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=a^2\end{cases}$$ имеет единственное решение.

Преобразуем второе уравнение:

$$y+x+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=a^2$$
$$y+x+\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{(x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})}=a^2$$
$$y+x+\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-(x^2+1)}=a^2$$
$$y+x-x+\sqrt{x^2+1}=a^2$$
$$y+\sqrt{x^2+1}=a^2.$$

Тогда система равносильна системе

$$\begin{cases} 3y-a\sqrt{x^2+1}=1,\\ y+\sqrt{x^2+1}=a^2. \end{cases}$$

Обозначим $$t=\sqrt{x^2+1}$$, тогда $$t\ge 1$$ и получаем

$$\begin{cases} 3y-at=1,\\ y+t=a^2. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$y=a^2-t$$. Подставим в первое:

$$3(a^2-t)-at=1$$
$$3a^2-(a+3)t=1$$
$$(a+3)t=3a^2-1.$$

Если $$a=-3$$, то получаем $$0\cdot t=26$$, что невозможно. Значит, $$a\ne -3$$, и

$$t=\frac{3a^2-1}{a+3}.$$

Так как $$t=\sqrt{x^2+1}\ge 1$$, то

$$\frac{3a^2-1}{a+3}\ge 1.$$

Кроме того, система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение

$$x^2=t^2-1$$

имеет единственный корень, то есть $$t=1$$. Тогда

$$\sqrt{x^2+1}=1 \Rightarrow x=0.$$

Подставим $$t=1$$ в уравнение $$3a^2-(a+3)t=1$$:

$$3a^2-(a+3)=1$$
$$3a^2-a-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49,$$
$$a=\frac{1\pm 7}{6}.$$

Получаем:

$$a_1=-1,\qquad a_2=\frac{4}{3}.$$

Проверим:

при $$a=-1$$ имеем $$t=1$$, значит $$x=0$$ и $$y=0$$;

при $$a=\frac{4}{3}$$ также $$t=1$$, значит $$x=0$$ и $$y=\frac{7}{9}$$.

В обоих случаях решение единственно.

Ответ

$$a=-1 \text{ или } a=\frac{4}{3}.$$