Упр.13.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases}2xy-\frac{3x}{y}=15,\\xy+\frac{x}{y}=15;\end{cases}$$
$$\begin{cases}\frac{3}{x^2+y^2-1}+\frac{2y}{x}=1,\\x^2+y^2+\frac{4x}{y}=22;\end{cases}$$
$$\begin{cases}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{36},\\xy^2-x^2y=324;\end{cases}$$
$$\begin{cases}\frac{xy}{x+3y}+\frac{x+3y}{xy}=2,\\\frac{xy}{x-y}+\frac{x-y}{xy}=\frac{5}{2}.\end{cases}$$

Подробный ответ

Пусть $$a=xy$$ и $$b=\frac{x}{y}$$. Тогда система примет вид
$$\begin{cases} 2a-3b=15,\\ a+b=15. \end{cases}$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$2a-3b-(a+b)=0,$$
$$a-4b=0,\quad a=4b.$$
Подставим во второе уравнение:
$$4b+b=15,$$
$$5b=15,\quad b=3.$$
Тогда $$a=12$$, то есть
$$xy=12,\quad \frac{x}{y}=3.$$
Из $$\frac{x}{y}=3$$ получаем $$x=3y$$. Подставим в $$xy=12$$:
$$3y^2=12,$$
$$y^2=4,\quad y=\pm 2.$$
Тогда $$x=3y$$, значит $$x=\pm 6$$.
Получаем решения: $$(-6;-2)$$ и $$(6;2)$$.
Пусть $$a=x^2+y^2$$ и $$b=\frac{x}{y}$$. Тогда
$$\begin{cases} \frac{3}{a-1}+\frac{2}{b}=1,\\ a+4b=22. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$a=22-4b$$. Подставим в первое:
$$\frac{3}{21-4b}+\frac{2}{b}=1.$$
Умножим на $$b(21-4b)$$:
$$3b+2(21-4b)=b(21-4b),$$
$$3b+42-8b=21b-4b^2,$$
$$4b^2-26b+42=0,$$
$$2b^2-13b+21=0.$$
$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 21=1,$$
$$b_1=3,\quad b_2=\frac{7}{2}.$$
Тогда
$$a_1=22-4\cdot 3=10,\quad a_2=22-4\cdot \frac{7}{2}=8.$$
1) Если $$x^2+y^2=10,\ \frac{x}{y}=3,$$ то $$x=3y$$ и
$$9y^2+y^2=10,$$
$$10y^2=10,\quad y=\pm 1,\quad x=\pm 3.$$
Получаем: $$(-3;-1)$$ и $$(3;1)$$.
2) Если $$x^2+y^2=8,\ \frac{x}{y}=\frac{7}{2},$$ то $$x=\frac{7}{2}y$$ и
$$\frac{49}{4}y^2+y^2=8,$$
$$\frac{53}{4}y^2=8,$$
$$y^2=\frac{32}{53},\quad y=\pm \frac{4\sqrt{106}}{53}.$$
Тогда
$$x=\frac{7}{2}y=\pm \frac{14\sqrt{106}}{53}.$$
Получаем ещё две пары решений.
Преобразуем систему:
$$\begin{cases} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{36},\\ xy^2-x^2y=324. \end{cases}$$
Имеем
$$\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{36},\quad xy(y-x)=324.$$
Пусть $$a=y-x$$ и $$b=xy$$. Тогда
$$\begin{cases} \frac{a}{b}=\frac{1}{36},\\ ab=324. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$b=36a$$. Подставим во второе:
$$36a^2=324,$$
$$a^2=9,\quad a=\pm 3.$$
Тогда $$b=\pm 108$$.
1) Если $$y-x=-3,\ xy=-108,$$ то
$$x^2-3x+108=0.$$
$$D=9-432=-423<0,$$
значит, решений нет.
2) Если $$y-x=3,\ xy=108,$$ то $$y=x+3$$ и
$$x(x+3)=108,$$
$$x^2+3x-108=0.$$
$$D=9+432=441,$$
$$x_1=-12,\quad x_2=9.$$
Тогда
$$y_1=-9,\quad y_2=12.$$
Получаем решения: $$(-12;-9)$$ и $$(9;12)$$.
Пусть
$$a=\frac{xy}{x+3y},\quad b=\frac{xy}{x-y}.$$
Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} a+\frac{1}{a}=2,\\ b+\frac{1}{b}=\frac{5}{2}. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$a^2-2a+1=0,$$
$$a=1.$$
Из второго:
$$2b^2-5b+2=0,$$
$$D=9,$$
$$b_1=\frac{1}{2},\quad b_2=2.$$
1) Если $$\frac{xy}{x+3y}=1,\ \frac{xy}{x-y}=\frac{1}{2},$$ то
$$xy=x+3y,\quad 2xy=x-y.$$
Из второго уравнения $$x=-7y$$. Подставим в первое:
$$-7y^2=-7y+3y,$$
$$-7y^2=-4y,$$
$$y=\frac{4}{7},\quad x=-4.$$
2) Если $$\frac{xy}{x+3y}=1,\ \frac{xy}{x-y}=2,$$ то
$$xy=x+3y,\quad xy=2(x-y).$$
Из этих уравнений получаем $$x=5y$$. Тогда
$$5y^2=8y,$$
$$y=\frac{8}{5},\quad x=8.$$
Получаем решения: $$(-4;\frac{4}{7})$$ и $$(8;\frac{8}{5})$$.