Упр.13.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 13.29. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений {(x^2-(2a+1)x+a^2-3=y, y^2-(2a+1)y+a^2-3=x) имеет единственное решение. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 13-29 95

Подробный ответ

Обозначим

$$f(t)=t^2-(2a+1)t+a^2-3.$$

Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} f(x)=y,\\ f(y)=x. \end{cases} $$

Если $$\,(x_0,y_0)\,$$ — решение, то из симметрии системы следует, что $$\,(y_0,x_0)\,$$ тоже решение. Значит, единственное решение возможно только при

$$x=y.$$

Подставим $$y=x$$ в первое уравнение:

$$ x^2-(2a+1)x+a^2-3=x, $$

$$ x^2-(2a+2)x+a^2-3=0. $$

Чтобы у системы было ровно одно решение, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$ D=(2a+2)^2-4(a^2-3). $$

Вычислим:

$$ D=4a^2+8a+4-4a^2+12=8a+16. $$

Тогда

$$ 8a+16=0, $$

$$ a=-2. $$

Проверим это значение. При $$a=-2$$ получаем