Упр.13.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система уравнений
   $$\begin{cases} x^2-(2a+1)x+a^2-3=y,\\ y^2-(2a+1)y+a^2-3=x \end{cases}$$
   имеет единственное решение.

Обозначим

$$f(t)=t^2-(2a+1)t+a^2-3.$$

Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} f(x)=y,\\ f(y)=x. \end{cases}$$

Если $$\,(x_0,y_0)\,$$ — решение, то из симметрии системы следует, что $$\,(y_0,x_0)\,$$ тоже решение. Значит, единственное решение возможно только при

$$x=y.$$

Подставим $$y=x$$ в первое уравнение:

$$x^2-(2a+1)x+a^2-3=x,$$

$$x^2-(2a+2)x+a^2-3=0.$$

Чтобы у системы было ровно одно решение, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(2a+2)^2-4(a^2-3).$$

Вычислим:

$$D=4a^2+8a+4-4a^2+12=8a+16.$$

Тогда

$$8a+16=0,$$

$$a=-2.$$

Проверим это значение. При $$a=-2$$ получаем

$$\begin{cases} x^2+3x+1=y,\\ y^2+3y+1=x. \end{cases}$$

Из первого уравнения и условия $$x=y$$ имеем

$$x^2+3x+1=x,$$

$$x^2+2x+1=0,$$

$$(x+1)^2=0.$$

Следовательно, $$x=y=-1$$, то есть решение единственно.

Ответ

$$a=-2$$