Упр.13.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   1) $$\left\{\begin{aligned}x^2-y^2+6y-13&=0,\\v(4-x^2)+y^2&=9;\end{aligned}\right.$$
   2) $$\left\{\begin{aligned}1-(x-3)^2&=v(x-y),\\y^2-4&=v(x-y-1).\end{aligned}\right.$$

1. Решим систему

   $$\begin{cases} x^2-y^2+6y-13=0,\\ \sqrt{4-x^2}+y^2=9. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$x^2=y^2-6y+13=(y-3)^2+4.$$

   Так как $$x^2=(y-3)^2+4\ge 4,$$ а из второго уравнения должно быть $$4-x^2\ge 0,$$ то получаем

   $$x^2\le 4.$$

   Следовательно,

   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\sqrt{4-(\pm 2)^2}+y^2=9,$$

   $$y^2=9,\quad y=\pm 3.$$

   Проверка показывает, что подходят только пары $$(-2;3)$$ и $$(2;3).$$

2. Решим систему

   $$\begin{cases} 1-(x-3)^2=\sqrt{x-y},\\ y^2-4=\sqrt{x-y-1}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$\sqrt{x-y}=1-(x-3)^2.$$

   Правая часть неотрицательна, значит

   $$1-(x-3)^2\ge 0.$$

   Из второго уравнения:

   $$\sqrt{x-y-1}=y^2-4,$$

   поэтому

   $$y^2-4\ge 0.$$

   Кроме того, из равенства подкоренных выражений получаем

   $$x-y-1\ge 0,\qquad x-y\ge 0.$$

   Проверим возможные значения. Из условия совместимости уравнений получаем

   $$x-y=1.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x-y-1}=\sqrt{0}=0,$$

   и из второго уравнения

   $$y^2-4=0,\quad y=\pm 2.$$

   Если $$y=2,$$ то $$x=y+1=3.$$

   Если $$y=-2,$$ то $$x=-1,$$ но это не подходит при проверке первого уравнения.

   Значит, единственное решение:

   $$(3;2).$$

Ответ

1) $$(-2;3),\ (2;3)$$; 2) $$(3;2)$$.