Упр.13.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2-y^2+6y-13=0, v(4-x^2)+y^2=9);
2) {(1-(x-3)^2=v(x-y), y^2-4=v(x-y-1)).

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} x^2-y^2+6y-13=0,\\ \sqrt{4-x^2}+y^2=9. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x^2=y^2-6y+13=(y-3)^2+4. $$
Так как $$x^2=(y-3)^2+4\ge 4,$$ а из второго уравнения должно быть $$4-x^2\ge 0,$$ то получаем
$$ x^2\le 4. $$
Следовательно,
$$ x^2=4,\quad x=\pm 2. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \sqrt{4-(\pm 2)^2}+y^2=9, $$
$$ y^2=9,\quad y=\pm 3. $$
Проверка показывает, что подходят только пары $$(-2;3)$$ и $$(2;3).$$
Решим систему
$$ \begin{cases} 1-(x-3)^2=\sqrt{x-y},\\ y^2-4=\sqrt{x-y-1}. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ \sqrt{x-y}=1-(x-3)^2. $$
Правая часть неотрицательна, значит
$$ 1-(x-3)^2\ge 0. $$
Из второго уравнения:
$$ \sqrt{x-y-1}=y^2-4, $$
поэтому
$$ y^2-4\ge 0. $$
Кроме того, из равенства подкоренных выражений получаем
$$ x-y-1\ge 0,\qquad x-y\ge 0. $$
Проверим возможные значения. Из условия совместимости уравнений получаем
$$ x-y=1. $$
Тогда
$$ \sqrt{x-y-1}=\sqrt{0}=0, $$
и из второго уравнения
$$ y^2-4=0,\quad y=\pm 2. $$
Если $$y=2,$$ то $$x=y+1=3.$$
Если $$y=-2,$$ то $$x=-1,$$ но это не подходит при проверке первого уравнения.
Значит, единственное решение:
$$ (3;2). $$