Упр.13.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(y^2-xy+1=0, x^2+2x=-y^2-2y-1);
2) {(x^2+4xy+4y^4=0, x^2-4x+6-2y^6=0).

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$\begin{cases} y^2-xy+1=0,\\ x^2+2x=-y^2-2y-1. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим произведение:
$$xy=y^2+1.$$
Во втором уравнении перенесём всё в левую часть:
$$x^2+2x+y^2+2y+1=0,$$
$$x^2+2x+(y+1)^2=0.$$
Так как $$y^2-xy+1=0,$$ то при фиксированном $$y$$ это квадратное уравнение относительно $$x$$. Найдём возможные значения, используя дискриминант:
$$D=y^2-4.$$
Чтобы уравнение имело решения, нужно $$D\ge 0$$, то есть
$$y^2\ge 4 \quad \Rightarrow \quad y\le -2 \text{ или } y\ge 2.$$
Из второго уравнения:
$$x^2+2x=-(y+1)^2 \le 0,$$
$$x(x+2)\le 0,$$
$$-2\le x\le 0.$$
Подставим возможное значение $$x=-2$$ в первое уравнение:
$$y^2-(-2)y+1=0,$$
$$y^2+2y+1=0,$$
$$(y+1)^2=0,$$
$$y=-1.$$
Проверка показывает, что пара $$(-2;\,-1)$$ удовлетворяет системе.
Решим вторую систему:
$$\begin{cases} x^2+4xy+4y^4=0,\\ x^2-4x+6-2y^6=0. \end{cases}$$
Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:
$$x^2+4yx+4y^4=0.$$
Для существования действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=(4y)^2-4\cdot 4y^4=16y^2-16y^4=16y^2(1-y^2)\ge 0.$$
Отсюда
$$-1\le y\le 1.$$
Из второго уравнения:
$$x^2-4x+6-2y^6=0.$$
Рассмотрим его как квадратное относительно $$x$$. Тогда
$$D=16-4(6-2y^6)=8(y^6-1)\ge 0,$$
значит
$$y^6\ge 1 \quad \Rightarrow \quad |y|\ge 1.$$
Совмещая с $$-1\le y\le 1,$$ получаем
$$y=-1 \text{ или } y=1.$$
Подставим эти значения во второе уравнение:
$$x^2-4x+6-2\cdot 1=0,$$
$$x^2-4x+4=0,$$
$$(x-2)^2=0,$$
$$x=2.$$
Проверка в первом уравнении показывает, что подходят обе пары:
$$ (2;\,-1), \quad (2;\,1). $$