Упр.13.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   1. $$\begin{cases}x+y+v\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{12}{x-y},\\x^2+y^2=41;\end{cases}$$
   2. $$\begin{cases}y^2-3y+4x=4,\\y(y-4)(y+4x)=-21.\end{cases}$$

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x+y+\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=\dfrac{12}{x-y},\\ x^2+y^2=41. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$x-y$$:

   $$(x+y)(x-y)+(x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=12.$$

   Так как $$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$, введём обозначение

   $$t=(x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}.$$

   Тогда

   $$x^2-y^2+t=12.$$

   Но

   $$t^2=(x-y)^2\cdot \dfrac{x+y}{x-y}=(x-y)(x+y)=x^2-y^2.$$

   Следовательно, из первого уравнения получаем

   $$t+t^2=12,$$

   то есть

   $$t^2+t-12=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$(t+4)(t-3)=0,$$

   откуда $$t=-4$$ или $$t=3$$.

   1) Если $$t=-4$$, то

   $$(x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=-4.$$

   Возведём в квадрат:

   $$(x-y)^2\cdot \dfrac{x+y}{x-y}=16,$$

   $$x^2-y^2=16.$$

   Совместно с $$x^2+y^2=41$$ получаем:

   $$\begin{cases} x^2-y^2=16,\\ x^2+y^2=41. \end{cases}$$

   Складываем уравнения:

   $$2x^2=57,\qquad x^2=\dfrac{57}{2}.$$

   Тогда

   $$y^2=41-\dfrac{57}{2}=\dfrac{25}{2}.$$

   Проверка знака даёт решения:

   $$\left(-\dfrac{\sqrt{114}}{2};-\dfrac{5\sqrt2}{2}\right),\quad \left(\dfrac{\sqrt{114}}{2};\dfrac{5\sqrt2}{2}\right).$$

   2) Если $$t=3$$, то

   $$(x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=3.$$

   После возведения в квадрат:

   $$x^2-y^2=9.$$

   Совместно с $$x^2+y^2=41$$ имеем:

   $$\begin{cases} x^2-y^2=9,\\ x^2+y^2=41. \end{cases}$$

   Складываем:

   $$2x^2=50,\qquad x^2=25.$$

   Тогда

   $$y^2=41-25=16.$$

   Подходящие пары:

   $$(5;-4),\quad (5;4),\quad (-5;4),\quad (-5;-4).$$

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y^2-3y+4x=4,\\ y(y-4)(y+4x)=-21. \end{cases}$$

   Преобразуем первое уравнение:

   $$y^2-4y+y+4x=4.$$

   Введём обозначения

   $$a=y^2-4y,\qquad b=y+4x.$$

   Тогда система принимает вид

   $$\begin{cases} a+b=4,\\ ab=-21. \end{cases}$$

   Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

   $$t^2-4t-21=0.$$

   Решаем:

   $$(t-7)(t+3)=0,$$

   откуда $$t=7$$ или $$t=-3$$.

   1) Если $$a=-3$$, $$b=7$$, то

   $$\begin{cases} y^2-4y=-3,\\ y+4x=7. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y^2-4y+3=0,$$

   $$(y-1)(y-3)=0,$$

   значит, $$y=1$$ или $$y=3$$.

   Тогда

   $$x=\dfrac{7-y}{4}.$$

   Получаем пары:

   $$\left(\dfrac{3}{2};1\right),\quad (1;3).$$

   2) Если $$a=7$$, $$b=-3$$, то

   $$\begin{cases} y^2-4y=7,\\ y+4x=-3. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y^2-4y-7=0.$$

   Тогда

   $$D=16+28=44,$$

   $$y=\dfrac{4\pm\sqrt{44}}{2}=2\pm\sqrt{11}.$$

   Из второго уравнения

   $$x=\dfrac{-3-y}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\left(\dfrac{-5-\sqrt{11}}{4};\,2+\sqrt{11}\right),\quad \left(\dfrac{\sqrt{11}-5}{4};\,2-\sqrt{11}\right).$$

Ответ

1) $$\left(5;-4\right),\ \left(5;4\right),\ \left(-\dfrac{\sqrt{114}}{2};-\dfrac{5\sqrt2}{2}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt{114}}{2};\dfrac{5\sqrt2}{2}\right).$$

2) $$\left(\dfrac{3}{2};1\right),\ (1;3),\ \left(\dfrac{-5-\sqrt{11}}{4};\,2+\sqrt{11}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt{11}-5}{4};\,2-\sqrt{11}\right).$$