Упр.13.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) {(x+y+v((x+y)/(x-y))=12/(x-y), x^2+y^2=41);
2) {(y^2-3y+4x=4, y(y-4)(y+4x)=-21).
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x+y+\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=\dfrac{12}{x-y},\\ x^2+y^2=41. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$x-y$$:
$$ (x+y)(x-y)+(x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=12. $$
Так как $$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$, введём обозначение
$$ t=(x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}. $$
Тогда
$$ x^2-y^2+t=12. $$
Но
$$ t^2=(x-y)^2\cdot \dfrac{x+y}{x-y}=(x-y)(x+y)=x^2-y^2. $$
Следовательно, из первого уравнения получаем
$$ t+t^2=12, $$
то есть
$$ t^2+t-12=0. $$
Решаем квадратное уравнение:
$$ (t+4)(t-3)=0, $$
откуда $$t=-4$$ или $$t=3$$.
1) Если $$t=-4$$, то
$$ (x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=-4. $$
Возведём в квадрат:
$$ (x-y)^2\cdot \dfrac{x+y}{x-y}=16, $$
$$ x^2-y^2=16. $$
Совместно с $$x^2+y^2=41$$ получаем:
$$ \begin{cases} x^2-y^2=16,\\ x^2+y^2=41. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2x^2=57,\qquad x^2=\dfrac{57}{2}. $$
Тогда
$$ y^2=41-\dfrac{57}{2}=\dfrac{25}{2}. $$
Проверка знака даёт решения:
$$ \left(-\dfrac{\sqrt{114}}{2};-\dfrac{5\sqrt2}{2}\right),\quad \left(\dfrac{\sqrt{114}}{2};\dfrac{5\sqrt2}{2}\right). $$
2) Если $$t=3$$, то
$$ (x-y)\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=3. $$
После возведения в квадрат:
$$ x^2-y^2=9. $$
Совместно с $$x^2+y^2=41$$ имеем:
$$ \begin{cases} x^2-y^2=9,\\ x^2+y^2=41. \end{cases} $$
Складываем:
$$ 2x^2=50,\qquad x^2=25. $$
Тогда
$$ y^2=41-25=16. $$
Подходящие пары:
$$ (5;-4),\quad (5;4),\quad (-5;4),\quad (-5;-4). $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y^2-3y+4x=4,\\ y(y-4)(y+4x)=-21. \end{cases} $$
Преобразуем первое уравнение:
$$ y^2-4y+y+4x=4. $$
Введём обозначения
$$ a=y^2-4y,\qquad b=y+4x. $$
Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} a+b=4,\\ ab=-21. \end{cases} $$
Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$ t^2-4t-21=0. $$
Решаем:
$$ (t-7)(t+3)=0, $$
откуда $$t=7$$ или $$t=-3$$.
1) Если $$a=-3$$, $$b=7$$, то
$$ \begin{cases} y^2-4y=-3,\\ y+4x=7. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y^2-4y+3=0, $$
$$ (y-1)(y-3)=0, $$
значит, $$y=1$$ или $$y=3$$.
Тогда
$$ x=\dfrac{7-y}{4}. $$
Получаем пары:
$$ \left(\dfrac{3}{2};1\right),\quad (1;3). $$
2) Если $$a=7$$, $$b=-3$$, то
$$ \begin{cases} y^2-4y=7,\\ y+4x=-3. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y^2-4y-7=0. $$
Тогда
$$ D=16+28=44, $$
$$ y=\dfrac{4\pm\sqrt{44}}{2}=2\pm\sqrt{11}. $$
Из второго уравнения
$$ x=\dfrac{-3-y}{4}. $$
Следовательно,
$$ \left(\dfrac{-5-\sqrt{11}}{4};\,2+\sqrt{11}\right),\quad \left(\dfrac{\sqrt{11}-5}{4};\,2-\sqrt{11}\right). $$
Ответ
1) $$\left(5;-4\right),\ \left(5;4\right),\ \left(-\dfrac{\sqrt{114}}{2};-\dfrac{5\sqrt2}{2}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt{114}}{2};\dfrac{5\sqrt2}{2}\right).$$
2) $$\left(\dfrac{3}{2};1\right),\ (1;3),\ \left(\dfrac{-5-\sqrt{11}}{4};\,2+\sqrt{11}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt{11}-5}{4};\,2-\sqrt{11}\right).$$
