Упр.13.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x-y+v((x-y)/(x+y))=20/(x+y), x^2+y^2=34);
2) {(x^2+y^2-x-2y-5=0, 2x^2+3y^2-2x-6y-13=0);
3) {(v(x+1/y)+v(y+1/x)=2v2, (x^2+1)y+(y^2+1)x=4xy).

Подробный ответ

Пусть
$$t=(x+y)\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}.$$
Тогда первое уравнение системы после умножения на $$x+y$$ принимает вид
$$t^2+t-20=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=1+80=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2},$$
откуда $$t_1=-5,$$ $$t_2=4.$$
1) Если $$t=-5$$, то
$$x^2-y^2=25.$$
Совместно с $$x^2+y^2=34$$ получаем:
$$ \begin{aligned} x^2-y^2&=25,\\ x^2+y^2&=34. \end{aligned} $$
Складываем уравнения:
$$2x^2=59,\qquad x^2=\frac{59}{2}.$$
Тогда
$$y^2=x^2-25=\frac{59}{2}-25=\frac{9}{2}.$$
С учётом знака $$t=-5$$ получаем пары:
$$\left(-\sqrt{\frac{59}{2}};\sqrt{\frac{9}{2}}\right),\ \left(-\sqrt{\frac{59}{2}};-\sqrt{\frac{9}{2}}\right).$$
2) Если $$t=4$$, то
$$x^2-y^2=16.$$
Совместно с $$x^2+y^2=34$$ имеем:
$$ \begin{aligned} x^2-y^2&=16,\\ x^2+y^2&=34. \end{aligned} $$
Складываем:
$$2x^2=50,\qquad x^2=25,$$
значит, $$x=\pm 5.$$
Тогда
$$y^2=x^2-16=9,\qquad y=\pm 3.$$
Подходящие пары:
$$(5;-3),\ (5;3).$$
Обозначим
$$a=x^2-x,\qquad b=y^2-2y.$$
Тогда система принимает вид
$$ \begin{aligned} a+b&=5,\\ 2a+3b&=13. \end{aligned} $$
Из первого уравнения $$a=5-b$$. Подставим во второе:
$$2(5-b)+3b=13,$$
$$10-2b+3b=13,$$
$$b=3,\qquad a=2.$$
Теперь решаем:
$$x^2-x=2,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x=\frac{1\pm 3}{2},$$
откуда $$x=-1$$ или $$x=2.$$
Аналогично:
$$y^2-2y=3,$$
$$y^2-2y-3=0,$$
$$D=4+12=16,$$
$$y=\frac{2\pm 4}{2},$$
откуда $$y=-1$$ или $$y=3.$$
Получаем все пары:
$$( -1;-1),\ (-1;3),\ (2;-1),\ (2;3).$$
Из второго уравнения, разделив на $$xy$$, получаем:
$$\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}=4,$$
то есть
$$x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4.$$
Пусть
$$a=\sqrt{x+\frac{1}{y}},\qquad b=\sqrt{y+\frac{1}{x}}.$$
Тогда
$$ \begin{aligned} a+b&=2\sqrt{2},\\ a^2+b^2&=4. \end{aligned} $$
Возводим сумму в квадрат:
$$a^2+b^2+2ab=8,$$
$$4+2ab=8,$$
$$ab=2.$$
Следовательно, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-2\sqrt{2}\,t+2=0,$$
откуда
$$t=\sqrt{2}.$$
Значит,
$$x+\frac{1}{y}=2,\qquad y+\frac{1}{x}=2.$$
Решаем систему:
$$ \begin{aligned} x+\frac{1}{y}&=2,\\ y+\frac{1}{x}&=2. \end{aligned} $$
Из первого уравнения
$$\frac{1}{y}=2-x,$$
подставим во второе:
$$y+\frac{1}{x}=2.$$
Умножим на $$x(2-x)$$ и получим
$$x=1,\qquad y=1.$$